Otázka: Příklad na analytickou geometrii
Předmět: Matematika
Přidal(a): Studijni-svet.cz
Zadání příkladu:
V soustavě souřadnic Oxy je zobrazena přímka p, která protíná souřadnicové osy v bodech M [-4; 0] a N [0; 2]. Přímka q je rovnoběžná s osou y a prochází bodem A [-6; 5]. Přímky mají průnik v bodě P.
a) Zapište směrnicový tvar rovnice přímky p.
b) Vypočítejte vzdálenost bodů O, P (výsledek nezaokrouhlujte).
Řešení:
a) Směrnicový tvar přímky
1) Na základě přímky MN jsme schopni určit vektor n
$$ \rightarrow _{MN} = (4; 2)$$
$$ \rightarrow _{n} = (2; -4)$$
2) K výpočtu využijeme vzoreček pro obecnou rovnici
$$ax + by + c = 0$$
3) Dosadíme souřadnice A a B z přímky MN
$$2x – 4y + c = 0$$
4) Za x a y dosazíme souřadnice bodu M
$$2(-4) – 4\cdot 0 + c = 0$$
5) Nyní již víme kolik je c a můžeme pokračovat ve výpočtech
$$c = 8$$
6) Znovu dosadíme do obecné rovnice, tentokrát obsadíme i třetí neznámou
$$2x – 4y + 8 = 0$$
7) Celou rovnici pokrátíme 2
$$x – 2y + 4 = 0$$
8) Převedeme si do směrnicového tvaru přímky
$$2y = x + 4$$
9) Přepočítáme na 1 y
$$y = \frac{1}{2} x + 2$$
b) Vzdálenost bodů O, P
1) Nejprve sestavíme rovnice k získání souřadnic bodů P a O
p: y – 2y + 4 = 0
q: x = -6
2) Ze soustavy předešlých rovnic víme
P [-6; -1]
3) Dále víme
O [0; 0]
4) K zjištění vzdálenosti potřebujeme zjistit
$$\rightarrow _{PO} $$
5) Čísla pod odmocninou umocníme a sečteme
$$|\rightarrow _{PO} = \sqrt{6^{2} + 1^{2}}$$
6) Vzdálenost bodů P, O je
$$|\rightarrow _{PO} = \sqrt{37}$$
Časová náročnost: 10 minut
Jedná se o příklad z podzimního maturitního testu 2018.
