Téma: Boelova algebra, Boelovy zákony, logické funkce
Předmět: Mechatronika
Přidal(a): David Veselík
Je to matematická disciplína, která je přímo aplikovatelná při návrhu číslicových obvodů. Zahrnuje pravidla a teorémy pro operace s logickými proměnnými a funkcemi.
Při používání pravidel se používají 3 základní operace:
- Logickým součin – konjunkce
- Logický součet – disjunkce
- Negace – inverze
Které tvoří teoretický prostředek pro návrh (syntézu) logických obvodů s požadovaným chováním. Vztahy mezi dvouhodnotovými proměnnými lze definovat matematickými zákony Booleovy algebry.
Zákony Booleovy algebry využíváme při úpravách logických funkcí, aby jejich obvodová realizace byla co nejjednodušší. Pro zjednodušení práce s rovnicemi v Booleově algebře byly De Morganovy zákony uvedeny do obecné podoby, které říkáme Shannonův teorém. Tento teorém umožňuje změnit každou rovnici tak, že znaménko logického součtu nahradíme znamínkem logického součinu a naopak. Rovnici v této podobě říkáme inverzní.
Zákony:
- Zákon komutativní a + b = b + a a × b = b × a
- Zákon asociativní a + (b + c) = (b + a) + c
- Zákon distributivní a × (b + c) = (a × b) + (a × c) a + (b × c) = (a + b) × (a + c) ¨
- Zákon idempotentní a + a = a a + 0 = a a + 1 = 1 a × a = a a × 0 = 0 a × 1 = a
- Zákon doplňku a + a = 1 a × a = 0
- Zákon involuce a = a
- Zákon absorpce a × (a + b) = a a + (a × b) = a
- Zákon absorpce negace a + (a × b) = a + b a × (a + b) = a × b
- Zákon de Morganův a+b = a * b a *b = a+b
Logické funkce:
- Jsou základní částí Booleovy algebry (dvouhodnotové), základní logické funkce jsou:
- Negace, konjunkce, disjunkce.
- Negaci se také říká inverze, neboli zákon.
- Konjunkci se také říká logický součin nebo funkce A.
- Disjunkce je logický součet nebo funkce nebo OR.
Negace:
U negace je vždy pouze 1 vstupní veličina (proměnná) a jedna výstupní (unární veličina). Logická proměnná negovaného výroku je vždy opačná než logická proměnná původního výrobu
V1 V1NOTV1
0 0
Konjunkce:
Je složený výrok, který vznikne spojením 2 nebo více jednoduchých výroků spojkou A. Konjunkce je pravdivá jen tehdy a jen jsou-li pravdivé oba vstupní výroky nebo všechny vstupní výroky najednou.
V1 V2 V1 V2
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
Disjunkce:
Je složený výrok, který vznikne spojením 2 nebo více jednoduchých logických výroků spojkou nebo tzn. Disjunkce je pravdivá tehdy je-li pravdivý alespoň jeden ze vstupních výroků.
V1 V2
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
Výrok: Výrok je každá oznamovací věta (sdělení), u níž dává smysl, když uvažujeme, zda je buď pravdivá, nebo nepravdivá, platí – 1, neplatí – 0.
U výroku určujeme pravdivostní hodnotu. Pokud výrok platí, označíme jeho pravdivostní hodnotu číslicí 1, pokud neplatí, označíme jeho pravdivostní hodnotu číslicí 0.
Výraz: výraz je konečná kombinace symbolů, která tvoří dobře utvořenou formuli podle pravidel závislých na kontextu. Matematickými symboly mohou být čísla (konstanty), proměnné, operace, funkce, oddělovače a závorky, které určují prioritu početních operací a jiné aspekty logické syntaxe.
výraz je každý matematický zápis, který je tvořen z konstant a proměnných, mezi nimiž jsou pomocí algebraických operací (např. sčítání, násobení) a závorek vytvořeny smysluplné vztahy.
Pravdivostní tabulka:
Je nejběžnějším způsobem popisu logické funkce. Popisuje zcela přesně chování logického obvodu, ale neobsahuje žádný návod pro jeho realizaci. Můžeme tedy na ni pohlížet jako na model chování logického systému. Obsahuje výčet všech kombinací vstupních proměnných a jim odpovídajících výstupů. Má-li logická funkce n nezávislých proměnných, bude mít pravdivostní tabulka 2na n řádků.
Pravdivostní tabulku můžeme vyjádřit určitou i neurčitou funkcí.
Ve dvou řádcích je napsán symbol x, který značí, že při těchto kombinacích vstupních proměnných je lhostejno, jestli logická funkce bude mít hodnotu 1 nebo 0.
Z pravdivostní tabulky můžeme získat logický výraz pro jednotlivé logické funkce. Logický výraz funkce f1 může být z pravdivostní tabulky získán dvěma způsoby: součtovou formou, součinovou formou.
Podle toho, jestli použijeme k popisu logické funkce řádky, v nichž je funkce jedničková, nebo řádky, v nichž je nulová.
Základní součinový člen, základní součtový člen, úplná součtová forma, úplná součinová forma.
