Otázka: Příklad na rovnice
Předmět: Matematika
Přidal(a): Studijni-svet.cz
Zadání příkladu:
Ověřte, která z těchto rovnic má v oboru R právě jedno řešení:
$$a) x^{2}+1=0$$
$$b) (x+1)^{2}=x^{2}+1$$
$$c) x^{2}-1=0$$
$$d) x^{2}=x$$
e) Žádná z výše uvedených rovnic
Řešení:
a) Rovnice nemá v oboru R právě jedno řešení.
1) Dosadíme do vzorečku pro diskriminant
$$D=b^{2}−4\cdot a\cdot c$$
$$D=0^{2}-4\cdot 1\cdot 1$$
2) Nyní vypočítáme diskriminant
$$D=-4⇒ø$$
b) Rovnice má v oboru R právě jedno řešení.
1) Rozepíšeme první závorku podle vzorečku
$$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$$
$$(x+1)^{2}=x^{2}+1$$
$$x^{2}+2x+1=x^{2}+1$$
2) Neznámé si ponecháme na jedné straně a čísla převedeme na druhou
$$2x=0$$
3) Vypočítáme pro 1x, výsledek se v tomto případě nezmění, rovnice má 1 řešení
$$x=0$$
c) Rovnice nemá v oboru R právě jedno řešení (má dvě řešení).
1) Na levé staně máme opět schovaný vzoreček, dáme jej do složeného stavu:
$$x^{2}-1=0$$
$$(x-1)(x+1)=0$$
2) Existují dvě řešení
$$x_{1}=1; x_{2}=-1$$
d) Rovnice nemá v oboru R právě jedno řešení (má dvě řešení).
1) Rovnici si upravíme, tak abychom mohli ověřit platnost:
$$x^{2}=x$$
$$x^{2}-x=0$$
2)
$$x(x-1)=0$$
3) Existují dvě řešení
$$x_{1}=0; x_{2}=1$$
e) Rovnice z příkladu b) má v oboru R právě jedno řešení.
Časová náročnost: 7 minut
Jedná se o příklad z jarního maturitního testu 2018.
