Téma: Základní poznatky z matematiky
Předmět: Matematika
Přidal(a): veru
Obsah
- a) Výroková logika
- b) Množiny a jejich operace
- c) Číselné obory
- d) Dělitelnost
a) Výroková logika
Výrok = každá oznamovací věta, u které můžeme určit, jestli je pravdivá (1) nebo nepravdivá (0)
Hypotéza (domněnka) = tvrzení, o kterém v daném okamžiku nejsme schopni říct, zda je pravdivé nebo nepravdivé
Dělení výroků
- Existenční – ANO/NE
- Kvantifikační – počet
Každý je – alespoň jeden není
Alespoň 1 je – žádný není
Alespoň n je – méně než n je
Nejvýše n je – alespoň (n+1) je
Nejvýše n je – více než n je
Logické spojky
- KONJUNKCE – A ∧ B – a zároveň
- DISJUNKCE – A V B – nebo
- IMPLIKACE – A⇒B – jestliže, pak (A-předpoklad, B-závěr)
- EKVIVALENCE – A↔B – právě tehdy když
| a | b | ¬ a | a ∧ b | a V b | a ⇒ b | a ⇔ b |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
Spojení výroků = složené výroky = výrokové formule
| A | B | A ∧ B | (A ∧ B)‘ | A‘ | B‘ | A‘ ∨ B‘ | (A∧B)‘ ⇔ A‘ ∨ B‘ |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
Tautologie = pokud je výroková formule pravdivá vždy
b) Množiny a jejich operace
Množina = soubor prvků, které tvoří celek
Druhy – konečná, nekonečná, prázdná ∅
Intervaly jsou také množiny
Operace
- Rovnost – A=B
- Podmnožina – A C B
- Sjednocení – A U B
- Průnik – A ∩ B
- Rozdíl – A – B
- Doplněk k množině A v množině B – A’B
Říkáme, že množina A je disjunktní s množinou B , právě když mají množiny A a B prázdný průnik, tj. nemají žádný společný prvek.
c) Číselné obory
- N – přirozená čísla {1, 2, 3, 4,…}
- N0 – nezáporná celá čísla {0, 1, 2, 3, …}
- Z – celá čísla {…,-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, …}
- Q – racionální čísla + zlomky (jmenovatel ∈ N) – desetinná č., periodická č.
- R – reálná čísla
- C – komplexní čísla – R + imaginární čísla
Iracionální čísla – čísla s neukončeným desetinným rozvojem – př. π
Uzavřenost oboru
- výsledkem početní operace mezi dvěma libovolnými prvky z příslušné množiny je číslo, které také patří do této množiny
- N – sčítání a násobení
- Z – sčítání, násobení a odčítání
- Q – sčítání, odčítání, násobení a dělení nenulovým číslem
- R – sčítání, odčítání, násobení a dělení nenulovým číslem
Věta o asociativnosti
- Sčítance při součtu a činitele při násobení můžeme volně sdružovat (nezáleží na pořadí závorek)
Věta o komutativnosti
- Pořadí sčítanců při sčítání a činitelů při násobení můžeme měnit beze změny na výsledku
- a + b = b + a
- a x b = b x a
Věta o neutrálnosti
- 1 je vzhledem k násobení/dělení neutrální
- 0 je vzhledem ke sčítání (neplatí v N) a odčítání neutrální
Věta o distributivnosti násobení vhledem ke sčítání
- Násobíme-li číslem součet dvou nebo více čísel, vynásobíme tímto číslem každého sčítance
- (a+b) x c = a x c + b x c
d) Dělitelnost
Znaky dělitelnosti:
| 2 | Poslední číslice :2 | 6 | Dělitelné 2 a 3 zároveň |
| 3 | Ciferný součet :3 | 8 | Poslední trojčíslí :8 |
| 4 | Poslední dvojčíslí :4 | 9 | Ciferný součet :9 |
| 5 | Poslední číslice 0, 5 | 10 | Poslední číslice 0 |
Prvočíslo = číslo dělitelné beze zbytku jen sebou samým a 1
Nejmenší společný násobek:
- Prvočíselný rozklad
- Vypíšeme nejvyšší počet jednotlivých prvočísel z rozkladů
Největší společný dělitel
- Prvočíselný rozklad
- Vypíšeme prvočísla, která se vyskytují v obou rozkladech (tvoří dvojice)
