Otázka: Slovní úloha na posloupnosti

Předmět: Matematika

Přidal(a): Studijni-svet.cz

Zadání příkladu:

Obrazce sestávají z bílých a tmavých šestiúhelníků uspořádaných do sloupců. Počet šestiúhelníků ve sloupci stoupá (vždy o jeden) z levé i pravé strany až do středu.

Každý obrazec má na začátku i na konci jeden bílý šestiúhelník.

V jednom z dalších obrazců je nejdelší sloupec složen z 59 šestiúhelníků (nad sebou).

a) Určete, jaký bude počet všech tmavých sloupců v tomto obrazci.

b) Určete také počet bílých šestiúhelníků v obrazci.

Řešení:

V obrazci, kde je 59 šestiúhelníků uprostřed se jedná o bílé šestiúhelníky uprostřed

1) Nejdříve si zrekapitulujeme, co již víme

$$a_{1} = 1$$

$$a_{2} = 2$$

$$d = 2$$

$$a_{n} = 57$$

2) Nyní zjistíme, kolikátý je prvek n, podle této rovnice

$$a_{n} = a_{1} + (n-1)2$$

3) Dosadíme, co známe

$$57 = 1 + (n-1)2$$

4) Jedničku si převedeme na levou stranu a na pravé straně roznásobíme závorku 2

$$56 = 2n-2$$

5) Čísla si převedeme na jednu stranu a neznámé také

$$58 = 2n$$

6) Přepočítáme na 1 n

$$n = 29$$

7) Počet tmavých sloupků je tedy dvojnásobkem n (odpověď na otázku a):

$$29\cdot 2 = 58$$

8) Počet členů vypočítáme podle vzorečku

$$s_{n} = \frac{n}{2}(a_{1}+a_{n})$$

9) Dosadíme

$$s_{29} = \frac{29}{2}(1+57)$$

10) Nejdříve sečteme čísla v závorce (58), tímto číslem vynásobíme čitatele a vše pak vydělíme jmenovatelem (2)

$$s_{29} =841$$

11) Nyní můžeme vypočítat počet bílých šestiúhelníku dle tohoto vzorečku

$$x_{B} = 841+59+841$$

12) Počet bílých šestiúhelníků tedy je (odpověď na otázku b):

$$x_{B} = 1741 ks$$

Časová náročnost: 7-8 minut

Jedná se o příklad z jarního maturitního testu 2018.

Článek Posloupnosti – slovní úloha (řešený příklad) se nejdříve objevil na Studijni-svet.cz.