Otázka: Příklad na objem a obsah kužele

Předmět: Matematika

Přidal(a): Studijni-svet.cz

Zadání příkladu:

Máme sklenici ve tvaru rotačního kužele. Voda, která je v ni má objem 40,5π cm³ a nesahá až po okraj sklenice, ale jen 6 cm od vrcholu sklenice (spodek sklenice).

Jaký je obsah plochy sklenice smáčené vodou?

(Zaokrouhlete na desetiny cm čtverečních)

a) 51,9 cm2

b) 54,3 cm2

c) 106,0 cm2

d) 169,5 cm2

e) 211,9 cm2

Řešení:

1) Nejdříve počítáme podle vzorce na objem kužele, abychom zjistili poloměr, který budete potřebovat pro výpočet povrchu:

$$V=\frac{1}{3}π\cdot r^{2}\cdot v$$

2) Dosadíme:

$$40,5π = \frac{1}{3}π\cdot r^{2}\cdot 6$$

3) Ludolfovo číslo se nám na obou stranách anuluje; dále musíme dát pravou stranu na stejného jmenovatele, tedy musíme číslo vynásobit 3; výsledek pak musíme vydělit 6, protože ji převádíme na druhou stranu má opačný efekt

$$r^{2} = 20,25$$

4) Odmocníme:

$$r=4,5cm$$

5) Nyní můžeme vypočítat průměr dle vzorce:

$$d^{2} = r^{2} + v^{2}$$

6) Dosadíme:

$$d^{2} = 4,5^{2} + 6^{2}$$

7) Na pravé straně se zbavíme mocnin a umocníme čísla

$$d^{2} = 56,25$$

8) Výslek odmocníme, aby nám vycházel pro 1d

$$d = 7,5 cm$$

9) Konečně se dostáváme k výpočtu plochy sklenice, použijeme vzoreček:

$$S=π\cdot r\cdot d$$

10) Dosadíme:

$$S=π\cdot 4,5\cdot 7,5$$

11) Zbývá už jen vynásobit výsledek:

$$S=106cm^{2}$$

Správně je odpověď (c)

Časová náročnost: 5-7 minut

Jedná se o příklad z jarního maturitního testu 2018.

Článek Objem a obsah kužele – řešený příklad se nejdříve objevil na Studijni-svet.cz.