Základní poznatky z matematiky

matematika

 

Téma: Základní poznatky z matematiky

Předmět: Matematika

Přidal(a): veru

 

Obsah 

  • a) Výroková logika
  • b) Množiny a jejich operace
  • c) Číselné obory
  • d) Dělitelnost

 

a) Výroková logika

Výrok = každá oznamovací věta, u které můžeme určit, jestli je pravdivá (1) nebo nepravdivá (0)

Hypotéza (domněnka) = tvrzení, o kterém v daném okamžiku nejsme schopni říct, zda je pravdivé nebo nepravdivé

Dělení výroků

  • Existenční – ANO/NE
  • Kvantifikační – počet

 

Každý je – alespoň jeden není

Alespoň 1 je – žádný není

Alespoň n je – méně než n je

Nejvýše n je – alespoň (n+1) je

Nejvýše n je – více než n je

 

Logické spojky

  • KONJUNKCE – A ∧ B – a zároveň
  • DISJUNKCE – A V B – nebo
  • IMPLIKACE – A⇒B – jestliže, pak (A-předpoklad, B-závěr)
  • EKVIVALENCE – A↔B – právě tehdy když

 

a b ¬ a a ∧ b a V b a ⇒ b a  ⇔ b
1 1 0 1 1 1 1
1 0 0 0 1 0 0
0 1 1 0 1 1 0
0 0 1 0 0 1 1

Spojení výroků = složené výroky = výrokové formule

 

A B A ∧ B (A ∧ B)’ A’ B’ A’ ∨ B’ (A∧B)’ ⇔ A’ ∨ B’
1 1 1 0 0 0 0 1
1 0 0 1 0 1 1 1
0 1 0 1 1 0 1 1
0 0 0 1 1 1 1 1

Tautologie = pokud je výroková formule pravdivá vždy

 

 

b) Množiny a jejich operace

Množina = soubor prvků, které tvoří celek

Druhy – konečná, nekonečná, prázdná ∅

Intervaly jsou také množiny

 

Operace

  • Rovnost – A=B
  • Podmnožina – A C B
  • Sjednocení – A U B
  • Průnik – A ∩ B
  • Rozdíl – A – B
  • Doplněk k množině A v množině B – A’B

 

Říkáme, že množina A je disjunktní s množinou B , právě když mají množiny A a B prázdný průnik, tj. nemají žádný společný prvek.

 

c) Číselné obory

  • N – přirozená čísla {1, 2, 3, 4,…}
  • N0 – nezáporná celá čísla {0, 1, 2, 3, …}
  • Z – celá čísla {…,-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, …}
  • Q – racionální čísla + zlomky (jmenovatel ∈ N) – desetinná č., periodická č.
  • R – reálná čísla
  • C – komplexní čísla – R + imaginární čísla

 

Iracionální čísla – čísla s neukončeným desetinným rozvojem – př. π

 

Uzavřenost oboru

  • výsledkem početní operace mezi dvěma libovolnými prvky z příslušné množiny je číslo, které také patří do této množiny
  • N – sčítání a násobení
  • Z – sčítání, násobení a odčítání
  • Q – sčítání, odčítání, násobení a dělení nenulovým číslem
  • R – sčítání, odčítání, násobení a dělení nenulovým číslem

 

Věta o asociativnosti

  • Sčítance při součtu a činitele při násobení můžeme volně sdružovat (nezáleží na pořadí závorek)

 

Věta o komutativnosti

  • Pořadí sčítanců při sčítání a činitelů při násobení můžeme měnit beze změny na výsledku
  • a + b = b + a
  • a x b = b x a

 

Věta o neutrálnosti

  • 1 je vzhledem k násobení/dělení neutrální
  • 0 je vzhledem ke sčítání (neplatí v N) a odčítání neutrální

 

Věta o distributivnosti násobení vhledem ke sčítání

  • Násobíme-li číslem součet dvou nebo více čísel, vynásobíme tímto číslem každého sčítance
  • (a+b) x c = a x c + b x c

 

d) Dělitelnost

Znaky dělitelnosti:

2 Poslední číslice :2 6 Dělitelné 2 a 3 zároveň
3 Ciferný součet :3 8 Poslední trojčíslí :8
4 Poslední dvojčíslí :4 9 Ciferný součet :9
5 Poslední číslice 0, 5 10 Poslední číslice 0

 

Prvočíslo = číslo dělitelné beze zbytku jen sebou samým a 1

 

Nejmenší společný násobek:

  • Prvočíselný rozklad
  • Vypíšeme nejvyšší počet jednotlivých prvočísel z rozkladů

 

Největší společný dělitel

  • Prvočíselný rozklad
  • Vypíšeme prvočísla, která se vyskytují v obou rozkladech (tvoří dvojice)





Další podobné materiály na webu: