Gravitační pole – maturitní otázka (2)

 

Otázka: Gravitační pole

Předmět: Fyzika

Přidal(a): Michaela H

 

Newtonův gravitační zákon. Centrální a homogenní gravitačním pole. Gravitační a tíhové zrychlení, síla gravitační, tíhová, tíha tělesa. Pohyby těles v homogenním tíhovém poli Země. Pohyby v centrálním poli Země a Slunce. Keplerovy zákony.

 

Všechny objekty kolem sebe vytvářejí gravitační pole. Gravitační síla je přitažlivá. Gravitační interakce se vyznačuje tím, že je velmi slabá a působí mezi hmotnými objekty libovolně vzdálenými.

 

Newtonův gravitační zákon.

Isaac Newton v 17. století; na základě pozorování pohybu Měsíce kolem Země a pohybu planet kolem Slunce vyslovil na myšlenku, že příčinou pohybu těchto těles jsou gravitační síly.

• Gravitační síla – přitažlivá síla, kterou na sebe působí jakákoliv dvě hmotná tělesa, aniž by muselo dojít k jejich přímému dotyku
• Gravitační pole – existuje v okolí všech hmotných těles a zprostředkuje působení gravitačních sil mezi nimi
• GRAVITAČNÍ ZÁKON – Dva hmotné body se navzájem přitahují stejně velkými gravitačními silami Fg, -Fg navzájem opačného směru. Velikost gravitační síly Fg je přímo úměrná součinu hmotností m1, m2 hmotných bodů a nepřímo úměrná druhé mocnině jejich vzdáleností r.
• F_g = ϰ((m1m2)/(r²))
  • Kde ϰ je Newtonova gravitační konstanta. (někdy označovaná G)
  • ϰ = 6,672 ·10-¹¹N*m-²*kg-²

 

Centrální a homogenní gravitačním pole

• Centrální (radiální) g. p.
  • Je v prostoru kolem hmotného bodu nebo homogenní koule
  • Vektory intenzity K směruji do středu a jejich velikost se zmenšuje se vzdáleností od hmotného bodu nebo středu koule
• Homogenní g. p.
  • Pole jehož intenzita má ve všech místech stejnou velikost i směr
  • Jde o idealizované gravitační pole

 

Gravitační a tíhové zrychlení, síla gravitační, tíhová, tíha tělesa

• Gravitační síla F_g
  • Přitažlivá síla, kterou na sebe působí jakákoliv dvě hmotná tělesa, aniž musí dojít k jejich přímému dotyku
• Gravitační zrychlení
  • Udělováno gravitační silou; platí pro něj a_g= F_g/m
    • Po dosazení z gravitačního zákona a_g=K(M/r²), kde M je hmotnost kulového tělesa, které pole vytváří
• Tíhová síla F_G a tíha tělesa
  • Tíhová síla a tíha tělesa jsou tedy fyzikálně různé veličiny, které však obě svůj původ v tíhovém poli.
  • Liší se svým působištěm. Tíha tělesa vyjadřuje působení tělesa umístěného v tíhovém poli Země na jiná tělesa. Projevuje se jako tlaková síla na podložku nebo jako tahová na závěs.
  • Těleso je ve stavu tíže pokud se projevuje účinek tíhy na jiná tělesa. Pokud tyto účinky vymizí těleso je v beztížném stavu.
• Tíhové zrychlení
  • Tíhové zrychlení g je způsobené tíhovou silou.
  • Svislý směr – tedy stejně jako směr tíhové síly

 

Pohyby těles v homogenním tíhovém poli Země

• Jde o pohyby těles, které probíhají v blízkosti povrchu Země a jejichž trajektorie jsou vzhledem k rozměrům země velmi malé
• Předpokládáme přitom, že na tělesa nepůsobí jiná než tíhová síla, ani odporová síla vzduchu – uvažujeme tedy pohyby těles ve vakuu

1) Volný pád

• Nejjednodušší pohyb v homogenním tíhovém poli Země
• Rovnoměrně zrychlený pohyb s nulovou počáteční rychlostí
• Pro okamžitou rychlost platí: v = g*t
• A pro dráhu s a výšku y platí: s = (1/2)g * t²y = y₀ – (1/2)g * t²

2) Svislý vrh vzhůru

• Jde o složení dvou pohybů:
  • 1) rovnoměrného pohybu směrem vzhůru s rychlostí v₀
  • 2) volný pád
• Pohyb tělesa vzhůru je rovnoměrně zpomalený pohyb
• Jakmile se těleso zastaví v největší výšce následuje pád
• Velikost okamžité rychlosti v při stoupání v čase t je dána vztahem:
  • v = v₀ – g*t
• Pro okamžitou výšku y tělesa platí:
  • y = y₀ – (1/2)g * t²

3) Vodorovný vrh

• Tělesu udělíme počáteční rychlost v₀ ve vodorovném směru
• Složením rovnoměrného přímočarého pohybu ve vodorovném směru rychlosti v₀ a volného pádu se zrychlením g vzniká pohyb, jehož rychlostí je část paraboly s vrcholem v místě vrhu
• Okamžitá poloha vrženého tělesa v čase je dána souřadnicemi x a y
• ϰ = v_{0 *} ty = h – (1/2)gt²

4) Šikmý vrh vzhůru

• Udělíme-li tělesu počáteční rychlost v0 ve směru, který svírá s vodorovným směrem úhel α, koná šikmý vrh vzhůru
• Úhel α se nazývá revalvační úhel
• I v tomto případě je to složení rovnoměrného přímočarého pohybu rychlosti v₀ a volného pádu se zrychlením g vzniká pohyb o trajektorii šikmé paraboly, ale to jen ve vakuu
• Ve vzduchu se těleso pohybuje v důsledku odporových sil po nesouměrné balistické křivce
• Pro polohu tělesa v čase t platí:
  • x = v₀tcosay = v₀tsina – (1/2)gt²

 

Pohyby v centrálním poli Země a Slunce

U pohybů raket, mezikontinentálních střel, umělých družic a kosmických lodí již nelze považovat gravitační pole za homogenní. Gravitační síla Fg, která na tato tělesa podél jejich dlouhých trajektorií působí, směřuje stále do středu Země.

• Jestliže tělesu udělíme dostatečně velkou rychlost, může se pohybovat kolem Země po kružnici. Tuto rychlost nazýváme kruhová rychlost v_k – její rychlost musí být taková, aby se odstředivá síla družice vyrovnala s gravitační silou
• v_k = √((kM_Z)/(R_Z+h))
• Uvažujeme pohyb tělesa v blízkosti povrchu Země, kde h je mnohem menší než RZ, je velikost kruhové hybnosti
• v_k = √((kM_Z)/(R_Z)) = 7,9 km*s^-1
• Tato hodnota se nazývá první kosmická rychlost. Oběžná doba družice při 1kr T = 84,4 min
• Jestliže má těleso opustit gravitační pole Země, musí mu být udělena parabolická rychlost nebo také úniková rychlost. V blízkosti Země je velikost parabolické rychlosti v_p = v_k√2 = 11,2 km*s^-1  a nazývá se druhá kosmická rychlost

 

Keplerovy zákony

Johannes Kepler

• žil v letech 1571 – 1630; několik let působil na dvoře císaře Rudolfa II v Praze, kde zformuloval dva ze tří jeho zákonů
• Keplerovy zákony jsou tři fyzikální zákony popisující pohyb planet kolem Slunce.

 

První Keplerův zákon – popisuje tvar trajektorie

Planety se pohybují kolem Slunce po elipsách málo odlišných od kružnic,  v jejichž společném ohnisku je Slunce.

• Zákon platí i pro komety na jejichž drahách je daleko zřejmější
• Vzdálenost bodu, kde je planeta nejdále od Slunce, a Slunce se nazývá perihélium neboli přísluní
• Vrchol P elipsy, v němž je planeta ke Slunci nejblíže, se nazývá perihélium (přísluní), vrchol A, v němž je planeta od Slunce nejdále, se nazývá afélium (odsluní). Při pohybu těles kolem Země (např. Měsíc) se bod P nazývá perigeum (přízemí), bod A apogeum (odzemí).

 

Druhý Keplerův zákon – vysvětluje, jak se planety pohybují

Obsahy ploch opsaných průvodičem planety za jednotku času jsou konstantní.

• Průvodič je úsečka spojující střed planety se středem Slunce.
• Délka průvodiče se mění, v perihéliu je nejkratší, v aféliu nejdelší, obsah, který opíše je však stejný
• Důsledkem je to, že rychlost planety v perihéliu je větší než v aféliu, pohyb planety je nerovnoměrný
• Vzhledem k tomu, že se vzdálenost planety od Slunce mění, zavádí se střední vzdálenost planety od Slunce, která je rovna délce hlavní poloosy a elipsy.
• Země prochází perihéliem v lednu, aféliem v červenci. Z toho vyplývá, že na severní polokouli je zimní půlrok kratší než letní.

 

Třetí Keplerův zákon – vztah mezi oběhovými dobami a hlavními poloosami jejich trajektorií

Poměr druhých mocnin oběžných dob dvou planet se rovná poměru třetích mocnin hlavních poloos jejich trajektorií.

• zákon platí pouze pokud hmotnost obou planet je zanedbatelná vůči Slunci
• pokud budeme považovat trajektorie za kružnice můžeme místo a dosadit poloměr trajektorie
• takový poloměr Země je 150 000 000 km a nazývá se astronomická jednotka-značka AU

 

Úlohy k dané látce

• V jaké vzdálenosti od zemského povrchu je velikost gravitačního zrychlení poloviční vzhledem k jeho velikosti na povrchu Země?
• Z okna domu ve výšce 20 m nad vodorovnou rovinou vyhodil chlapec vodorovným směrem tenisový míček rychlostí 5 m·s -1. Určete a) za jakou dobu a v jaké vzdálenosti od domu míček dopadne, b) jak velká je rychlost dopadu míčku.
• Na základě astronomických pozorování bylo zjištěno, že měsíc Deimos obíhá kolem planety Mars po kružnici o poloměru 23 500 km rychlostí 1,35 km∙s -1. Určete hmotnost Marsu.
• Doba oběhu Marsu kolem Slunce je přibližně 1,9 roku. Určete jeho střední vzdálenost od Slunce.