Historie Ludolfova čísla

Proč je zakázané kopírování? 💾 Stáhnout materiálVIP členstvíNahlásit chybu

matematika

 

Téma: Historie Ludolfova čísla

Předmět: Matematika

Přidal(a): Henja

 

Ludolfovo číslo π

Číslo π je jednou z mála matematických konstant, se kterou se setkáváme již na základní škole. Hodnota tohoto čísla se na školách vyjadřuje jen na dvě desetinné číslice, a to 3,14. Desetinný rozvoj této konstanty je neperiodický, nekonečný a nelze jej vyjádřit podílem celých čísel, a proto se jedná o iracionální číslo.

Své jméno získala po holandském matematikovi Ludolphovi Van Ceulenovi, ten zasvětil velkou část svého života vyčíslením přesné hodnoty π (Beckmann, 1998).

 

1.    Prvotní zmínky

Člověk si během svého vývoje uvědomoval jednotlivé vztahy mezi určitými veličinami. Naučil se poznávat a pojmenovávat různé věci. Důkazem, že člověk určité předměty měřil či porovnával je například vroubkovaná hůl, jenž se nalezla ve Věstonicích na Moravě (Beckmann, 1998).

První doložená zmínka o konstantě π pochází okolo roku 2000 před naším letopočtem. Zřejmě již v této době si začali lidé uvědomovat význam této konstanty a dokázali určit její přibližnou hodnotu. Samozřejmostí je, že k tomuto dosažení si museli uvědomovat základní věci, jako je například počítání, osvojení pojmů velikosti, a také váhy. Museli si uvědomit, že mezi jednotlivými rozdíly jsou určité vztahy. Mezi tímto uvědomováním bylo také to, že čím je kruh napříč větší, tím větší je i dokola (Beckmann, 1998).

Postupnými úvahami lidé došli k tomu, že vztah mezi dvojicemi veličin je proporcionální (úměrný). Tohle uvědomění bylo docela blízko k určení konstanty π, kdy okolo a napříč jsou úměrné veličiny. Z toho vyplývá vztah: obvod dělený průměrem je roven konstantě pro všechny kruhy. Své označení řeckým písmenem, π, získal tento poměr až v 18. století (Beckmann, 1998).

 

2.    Nejstarší metoda výpočtu

Jak již bylo zmíněno, tak nejstarší zmínky o konstantě pochází okolo roku 2000 př. n. l., těmito mysliteli, jenž dokázali zjistit přibližnou hodnotu byli Egypťané a Babyloňané. V Egyptě určili hodnotu π jako čtyřikrát podíl čísel 8 a 9, jenž je umocněn na druhou. Babylonští myslitelé dospěli k závěru, že π je rovno podílu čísel 31 a 8. Tyto dva výpočty jsou velmi blízko k dnešní hodnotě, avšak není zcela známo, jak k těmto výsledkům dospěli. Lze předpokládat, že ke stanovení dané hodnoty využili kůly a provazy. Pomocí těchto dvou předmětů udělali do písku kruh tak, že jeden zapíchli do písku, na něm byl provaz a jeho konci druhý kůl, ten udělal kružnici. Následně vzali delší provaz, ten upevnili v libovolném bodě kružnice a vedli jej přes střed až na druhou stranu, udělali průměr. Poté průměr vkládali do rýhy kružnice, pomocí toho zjistili, že se průměr do obvodu vejde třikrát a kousek (Beckmann, 1998).

 

2.1.         Mezopotámie

Za největší důkaz pokročilosti matematiky v Mezopotámii, lze považovat nález hliněné destičky. Ta byla nalezena přibližně 200 mil od Babylonu v roce 1936. Na ni je věnovaná pozornost různým geometrickým útvarům. Z destičky lze vyčíst, že poměr obvodu pravidelného šestiúhelníku k délce opsané kružnice je ((57/60) + (36/602)).  Dále uvádí vztah mezi pravidelným šestiúhelníkem a délkou opsané kružnice. Z této myšlenky vyjádřili, že 6r=C, kdy r je poloměr kružnice opsané šestiúhelníku a C je její délka (Bečvář, Bečvářová, Vymazalová, 2003)

 

Ze vztahu 6r = C, dostaneme: (6r/c) = 1; Odtud dokážeme dopočítat π, kdy

6r/c = 6r/2πr =3/π

3/π = 57/60 + 36/602

π = 25/8 = 3,125

 

2.2.         Egypt

V Egyptě byl nalezen významný matematický dokument, jež nazýváme Rhidův papyrus nebo také Ahmesův papyrus. Byl sepsán okolo roku 1650 př. n. l. a nachází se na něm 84 úloh i s řešením. Po výpočet π je důležitá úloha číslo 50 (Bečvář, Bečvářová, Vymazalová, 2003).

Předpokládá se zde, že obsah plochy kruhu o průměru 9 jednotek je stejný jako obsah čtverce s délkou strany 8 jednotek. Z toho vyplývá, že: S = πr2; takže π(9/2)2 = 82. Po úpravě a dopočítání se egyptská hodnota π rovná 3,16049 (Bečvář, Bečvářová, Vymazalová, 2003).

 

3.    Starověké Řecko (Archimédes)

Archimédes se narodil v Syrakusách okolo roku 287 př. n. l., je považován za významného matematika, mechanika a fyzika. Archimédes hledal obecné principy, které poté aplikoval na konkrétní problémy (Bečvář, Štoll 2005).

Tento významný matematik přišel na metodu výpočtu π s libovolnou přesností. Tato metoda je založena na tom že, obvod pravidelného mnohoúhelníku vepsaného do kružnice je menší než obvod této kružnice a zároveň je obvod této kružnice je menší než obvod mnohoúhelníku, do něhož je vepsána. „Zavedeme-li n dosti velké, budou se oba obvody mnohoúhelníků blížit obvodu kruhu s libovolnou přesností, jeden zdola, druhý shora. Archimedes začal od šestiúhelníku a pokračoval tak, že zdvojoval počet stran, až dospěl k mnohoúhelníku s 96 stranami.“ Archimédes dospěl k tomuto:

3(10/71) < π < 3 1/7; v desetinném záznamu 3,14084 < π <3,142858

(Beckmann,1998)

 

4.    Novověká matematika

Období renesance je s vývojem π spojeno hlavně s určením přesnější numerické hodnoty této konstanty. Teorie byla v podstatě založena na Archimedových mnohoúhelnících.

 

4.1.         Francois Viéte

Významný francouzský matematik žijící v letech 1540-1603. Narodil se do rodiny právníků, a také on vystudoval na univerzitě v Poitiers právo. V matematické terminologii zavedl nová slova, jako například negativní či koeficient. V algebře, aritmetice, trigonometrii i geometrii dosáhl důležitých výsledků (O’Connor, Robertson, 2019).

Francois Viéte se řadí mezi poslední matematiky, jež jsou ovlivněni Archimédovou metodou výpočtu π pomocí mnohoúhelníků. Na rozdíl do Archiméda začal svůj postup od čtverce. Viéte porovnával obsahy ploch mnohoúhelníků s n stranami a s 2n stranami (Beckmann, 1998).

Pomocí výpočtů a dosazení dosáhl Viéte následujícího vzorce pro výpočet hodnoty π.

Tento výraz byl v roce 1593 publikován. Pro vyčíslení konstanty π jej Viéte nepoužil. Pro určení π na 9 desetinných míst využil Archimedovu metodu s mnohoúhelníkem o 393 216 stranách. Závěr tohoto počítání byl, že π je mezi 3,1415926535 a 3,1415926537 (Beckamnn, 1998).

 

4.2.         Ludolph Van Ceulen

Holandský matematik narozený v Hildesheimu (Německo), 28. 1. 1540. Do Holandska emigroval kvůli katolického útlaku. Pocházel z chudých poměrům, z toho důvodu měl pouze základní vzdělání, ale zřejmě se jednalo o velmi talentovaného matematika (O’Connor, Robertson, 2019).

Převážnou část svého života se věnoval počítání hodnoty čísla π. Využíval výhradně Archimedovu metodu mnohoúhelníků. Ve svém článku Van den Circkel (O kruhu), z roku 1596, informoval, že vypočítal číslo π s přesností na 20 desetinných míst. De Aritmertische en geometrische fondamenten, bylo jeho další dílo, jež vydala jeho žena po smrti Van Ceulena v roce 1615, kde udává π s přesností na 32 míst. Němce natolik zaujala jeho snaha vyčíslit π, že tuto konstantu nazývali po něm, Ludolfovo číslo (Beckmann, 1998).

 

4.3.         John Wallis

Anglický matematik, jenž uveřejnil své dílo Arithmetica infinitorum v roce 1655, kde vyjádřil hodnotu π jako nekonečný součin. Byl prvním matematikem, jehož nekonečná řada obsahovala pouze racionální čísla. Wallisův vzorec,

π = 2 (2*2*4*4*6*6*…)/(1*3*3*5*5*7*…)

je velkým mezníkem v historii konstanty π (Fuchs, 2001).

 

4.4.         James Gregory

Matematik a astronom pocházející ze Skotska, studoval na univerzitě v Aberdeenu a poté v Itálii. V díle Vera circuli et hyperbolae quadratura (Správná kvadratura kruhu a hyperboly) pojednával o rozdílu mezi algebraickými a transcendentálními funkcemi. V uvedeném textu se také pokusil o důkaz, že π je transcendentní (O’Connor, Robertson, 2019).

Objevení řady pro arkustangens x, bylo důležitým milníkem pro historický vývoj π. Gregory zjistil, že obsah plochy pod křivkou 1/(1+x2)  v intervalu (0; x) je arctg x. Následně zdlouhavým procesem dělení integrantu našel řadu:

arctg x = x – (x3/3) + (x5/5) – (x7/7)+⋯,

Poté položil x=1, jelikož arctg (1) je rovno π/4 , z toho poté:

π = 4(1-(1/3)+(1/5)-(1/7)+⋯)

Tato řada je první nekonečnou řadou pro vyjádření konstanty π. Gregoryho řada nebývá využívána v numerických výpočtech kvůli příliš pomalé konvergenci (Kvasz, 1994).

 

4.5.         Isaac Newton

Nejuznávanější vědec všech dob pochází z Anglie, byl matematikem, astronomem, fyzikem, teologem a filozofem. Philosophiae Naturalis Principia Mathematica jeho dílo publikované v roce 1687, zde0 položil základy mechaniky. V matematice patří mezi první objevitele integrálního a diferenciálního počtu (Ackroyd, 2010).

Při výpočtu čísla π, uvažoval kružnici, y=√(x-x2), poloměr kružnice 1/2. Pomocí dalších výpočtů dospěl Newton k vyjádření konstanty následovně:

Tento způsob výpočtu zajistil 16 desetinných míst s 22 členy. Oproti Archimédovy metody je to daleko jednodušší a snazší (Beckmann, 1998).

 

4.6.         John Machin

Londýnský profesor astronomie. Machin je známý především zrychlením konvergence Gregoryho řady a zjednodušením výpočtu. Díky tomuto usnadnění, kdy druhá řada konverguje velice rychle dokázal vypočítat v roce 1706 π na 100 míst (Beckmann, 1998).

 

4.7.         Leonhard Euler

Největší matematik všech dob. Pochází ze Švýcarska, kde se narodil roku 1707. Od útlého dětství vynikal v matematice, čehož si všimnul Johann Bernoulli, ten jej začal soukromě doučovat (Fuchs, 2001).

Pro výpočet π uvedl několik možných výrazů, ty byly vyjádřeny pomocí nekonečných součinů a řetězových zlomků. Využil tzv. trik od Machina a odvodil několik vzorců. Eulerovi se však podařilo najít řadu, jež konverguje rychleji než všechny ostatní:

O jeho dokonalosti ve výpočtu hodnoty π dokazuje fakt, že nikdo jiný v historii neobjevil lepší způsob výpočtu. Dá se říct, že tímto ukončil historii numerického výpočtu (Beckmann, 1998).

 

5.    Za dob počítačů

Nástup počítačů dal počítání desetinných čísel konstanty π zcela jiný ráz. V 18. a 19. století počítali vědci s desítkami maximálně stovkami číslic, kdežto počítačoví programátoři dokážou pomocí počítačů vypočítat na tisíce či dokonce sta tisíce míst.

V roce 1949 byl proveden první výpočet konstanty π, a to díky ENIAC (Elektonic Numerical Integrator and Copmuter). Výpočet trval 70 hodin a byl určen na 2 037 desetinných míst. Výpočet byl založen na základě Machinova vzorce.

Postupem času se výpočty zrychlovaly a zdokonalovaly. Počítač NORC (Naval Ordnance Research Calculator) v roce 1954 a poté 1955 byl naprogramován pro výpočet na 3 089 míst. Tento výpočet trval pouhých 13 minut. Rekord byl překonán roku 1957 v Londýně, kdy počítač Pegasus vypočítal za 33 hodin π s 10 021 místy. Červenec roku 1958 byl pro výpočet π úspěšný. Během hodiny a čtyřiceti minut dokázal počítač IBM 704 vypočítat 10 000 desetinných míst. Výpočet vycházel z Machinovy a Gregoryho řady. Počítač IBM 7090 v roce 1961, za pomocí Machinova vzorce, vypočítat s přesností na 20 000 míst za 39 minut. První půl milion desetinných míst dokázal v roce 1967 počítač CDC 6600. Jak lze postřehnout neustálým vylepšováním dochází k vyčíslení konstanty π na mnohem více desetinných míst (Beckmann, 1998).