Téma: Historie Ludolfova čísla
Předmět: Matematika
Přidal(a): Henja
Ludolfovo číslo π
Číslo π je jednou z mála matematických konstant, se kterou se setkáváme již na základní škole. Hodnota tohoto čísla se na školách vyjadřuje jen na dvě desetinné číslice, a to 3,14. Desetinný rozvoj této konstanty je neperiodický, nekonečný a nelze jej vyjádřit podílem celých čísel, a proto se jedná o iracionální číslo.
Své jméno získala po holandském matematikovi Ludolphovi Van Ceulenovi, ten zasvětil velkou část svého života vyčíslením přesné hodnoty π (Beckmann, 1998).
1. Prvotní zmínky
Člověk si během svého vývoje uvědomoval jednotlivé vztahy mezi určitými veličinami. Naučil se poznávat a pojmenovávat různé věci. Důkazem, že člověk určité předměty měřil či porovnával je například vroubkovaná hůl, jenž se nalezla ve Věstonicích na Moravě (Beckmann, 1998).
První doložená zmínka o konstantě π pochází okolo roku 2000 před naším letopočtem. Zřejmě již v této době si začali lidé uvědomovat význam této konstanty a dokázali určit její přibližnou hodnotu. Samozřejmostí je, že k tomuto dosažení si museli uvědomovat základní věci, jako je například počítání, osvojení pojmů velikosti, a také váhy. Museli si uvědomit, že mezi jednotlivými rozdíly jsou určité vztahy. Mezi tímto uvědomováním bylo také to, že čím je kruh napříč větší, tím větší je i dokola (Beckmann, 1998).
Postupnými úvahami lidé došli k tomu, že vztah mezi dvojicemi veličin je proporcionální (úměrný). Tohle uvědomění bylo docela blízko k určení konstanty π, kdy okolo a napříč jsou úměrné veličiny. Z toho vyplývá vztah: obvod dělený průměrem je roven konstantě pro všechny kruhy. Své označení řeckým písmenem, π, získal tento poměr až v 18. století (Beckmann, 1998).
2. Nejstarší metoda výpočtu
Jak již bylo zmíněno, tak nejstarší zmínky o konstantě pochází okolo roku 2000 př. n. l., těmito mysliteli, jenž dokázali zjistit přibližnou hodnotu byli Egypťané a Babyloňané. V Egyptě určili hodnotu π jako čtyřikrát podíl čísel 8 a 9, jenž je umocněn na druhou. Babylonští myslitelé dospěli k závěru, že π je rovno podílu čísel 31 a 8. Tyto dva výpočty jsou velmi blízko k dnešní hodnotě, avšak není zcela známo, jak k těmto výsledkům dospěli. Lze předpokládat, že ke stanovení dané hodnoty využili kůly a provazy. Pomocí těchto dvou předmětů udělali do písku kruh tak, že jeden zapíchli do písku, na něm byl provaz a jeho konci druhý kůl, ten udělal kružnici. Následně vzali delší provaz, ten upevnili v libovolném bodě kružnice a vedli jej přes střed až na druhou stranu, udělali průměr. Poté průměr vkládali do rýhy kružnice, pomocí toho zjistili, že se průměr do obvodu vejde třikrát a kousek (Beckmann, 1998).
Za největší důkaz pokročilosti matematiky v Mezopotámii, lze považovat nález hliněné destičky. Ta byla nalezena přibližně 200 mil od Babylonu v roce 1936. Na ni je věnovaná pozornost různým geometrickým útvarům. Z destičky lze vyčíst, že poměr obvodu pravidelného šestiúhelníku k délce opsané kružnice je ((57/60) + (36/602)). Dále uvádí vztah mezi pravidelným šestiúhelníkem a délkou opsané kružnice. Z této myšlenky vyjádřili, že 6r=C, kdy r je poloměr kružnice opsané šestiúhelníku a C je její délka (Bečvář, Bečvářová, Vymazalová, 2003)
Ze vztahu 6r = C, dostaneme: (6r/c) = 1; Odtud dokážeme dopočítat π, kdy
6r/c = 6r/2πr =3/π
3/π = 57/60 + 36/602
π = 25/8 = 3,125
V Egyptě byl nalezen významný matematický dokument, jež nazýváme Rhidův papyrus nebo také Ahmesův papyrus. Byl sepsán okolo roku 1650 př. n. l. a nachází se na něm 84 úloh i s řešením. Po výpočet π je důležitá úloha číslo 50 (Bečvář, Bečvářová, Vymazalová, 2003).
Předpokládá se zde, že obsah plochy kruhu o průměru 9 jednotek je stejný jako obsah čtverce s délkou strany 8 jednotek. Z toho vyplývá, že: S = πr2; takže π(9/2)2 = 82. Po úpravě a dopočítání se egyptská hodnota π rovná 3,16049 (Bečvář, Bečvářová, Vymazalová, 2003).
3. Starověké Řecko (Archimédes)
Archimédes se narodil v Syrakusách okolo roku 287 př. n. l., je považován za významného matematika, mechanika a fyzika. Archimédes hledal obecné principy, které poté aplikoval na konkrétní problémy (Bečvář, Štoll 2005).
Tento významný matematik přišel na metodu výpočtu π s libovolnou přesností. Tato metoda je založena na tom že, obvod pravidelného mnohoúhelníku vepsaného do kružnice je menší než obvod této kružnice a zároveň je obvod této kružnice je menší než obvod mnohoúhelníku, do něhož je vepsána. „Zavedeme-li n dosti velké, budou se oba obvody mnohoúhelníků blížit obvodu kruhu s libovolnou přesností, jeden zdola, druhý shora. Archimedes začal od šestiúhelníku a pokračoval tak, že zdvojoval počet stran, až dospěl k mnohoúhelníku s 96 stranami.“ Archimédes dospěl k tomuto:
3(10/71) < π < 3 1/7; v desetinném záznamu 3,14084 < π <3,142858
(Beckmann,1998)
4. Novověká matematika
Období renesance je s vývojem π spojeno hlavně s určením přesnější numerické hodnoty této konstanty. Teorie byla v podstatě založena na Archimedových mnohoúhelnících.
Významný francouzský matematik žijící v letech 1540-1603. Narodil se do rodiny právníků, a také on vystudoval na univerzitě v Poitiers právo. V matematické terminologii zavedl nová slova, jako například negativní či koeficient. V algebře, aritmetice, trigonometrii i geometrii dosáhl důležitých výsledků (O’Connor, Robertson, 2019).
Francois Viéte se řadí mezi poslední matematiky, jež jsou ovlivněni Archimédovou metodou výpočtu π pomocí mnohoúhelníků. Na rozdíl do Archiméda začal svůj postup od čtverce. Viéte porovnával obsahy ploch mnohoúhelníků s n stranami a s 2n stranami (Beckmann, 1998).
Pomocí výpočtů a dosazení dosáhl Viéte následujícího vzorce pro výpočet hodnoty π.
Tento výraz byl v roce 1593 publikován. Pro vyčíslení konstanty π jej Viéte nepoužil. Pro určení π na 9 desetinných míst využil Archimedovu metodu s mnohoúhelníkem o 393 216 stranách. Závěr tohoto počítání byl, že π je mezi 3,1415926535 a 3,1415926537 (Beckamnn, 1998).
Holandský matematik narozený v Hildesheimu (Německo), 28. 1. 1540. Do Holandska emigroval kvůli katolického útlaku. Pocházel z chudých poměrům, z toho důvodu měl pouze základní vzdělání, ale zřejmě se jednalo o velmi talentovaného matematika (O’Connor, Robertson, 2019).
Převážnou část svého života se věnoval počítání hodnoty čísla π. Využíval výhradně Archimedovu metodu mnohoúhelníků. Ve svém článku Van den Circkel (O kruhu), z roku 1596, informoval, že vypočítal číslo π s přesností na 20 desetinných míst. De Aritmertische en geometrische fondamenten, bylo jeho další dílo, jež vydala jeho žena po smrti Van Ceulena v roce 1615, kde udává π s přesností na 32 míst. Němce natolik zaujala jeho snaha vyčíslit π, že tuto konstantu nazývali po něm, Ludolfovo číslo (Beckmann, 1998).
Anglický matematik, jenž uveřejnil své dílo Arithmetica infinitorum v roce 1655, kde vyjádřil hodnotu π jako nekonečný součin. Byl prvním matematikem, jehož nekonečná řada obsahovala pouze racionální čísla. Wallisův vzorec,
π = 2 (2*2*4*4*6*6*…)/(1*3*3*5*5*7*…)
je velkým mezníkem v historii konstanty π (Fuchs, 2001).
Matematik a astronom pocházející ze Skotska, studoval na univerzitě v Aberdeenu a poté v Itálii. V díle Vera circuli et hyperbolae quadratura (Správná kvadratura kruhu a hyperboly) pojednával o rozdílu mezi algebraickými a transcendentálními funkcemi. V uvedeném textu se také pokusil o důkaz, že π je transcendentní (O’Connor, Robertson, 2019).
Objevení řady pro arkustangens x, bylo důležitým milníkem pro historický vývoj π. Gregory zjistil, že obsah plochy pod křivkou 1/(1+x2) v intervalu (0; x) je arctg x. Následně zdlouhavým procesem dělení integrantu našel řadu:
arctg x = x – (x3/3) + (x5/5) – (x7/7)+⋯,
Poté položil x=1, jelikož arctg (1) je rovno π/4 , z toho poté:
π = 4(1-(1/3)+(1/5)-(1/7)+⋯)
Tato řada je první nekonečnou řadou pro vyjádření konstanty π. Gregoryho řada nebývá využívána v numerických výpočtech kvůli příliš pomalé konvergenci (Kvasz, 1994).
Nejuznávanější vědec všech dob pochází z Anglie, byl matematikem, astronomem, fyzikem, teologem a filozofem. Philosophiae Naturalis Principia Mathematica jeho dílo publikované v roce 1687, zde0 položil základy mechaniky. V matematice patří mezi první objevitele integrálního a diferenciálního počtu (Ackroyd, 2010).
Při výpočtu čísla π, uvažoval kružnici, y=√(x-x2), poloměr kružnice 1/2. Pomocí dalších výpočtů dospěl Newton k vyjádření konstanty následovně:
Tento způsob výpočtu zajistil 16 desetinných míst s 22 členy. Oproti Archimédovy metody je to daleko jednodušší a snazší (Beckmann, 1998).
Londýnský profesor astronomie. Machin je známý především zrychlením konvergence Gregoryho řady a zjednodušením výpočtu. Díky tomuto usnadnění, kdy druhá řada konverguje velice rychle dokázal vypočítat v roce 1706 π na 100 míst (Beckmann, 1998).
Největší matematik všech dob. Pochází ze Švýcarska, kde se narodil roku 1707. Od útlého dětství vynikal v matematice, čehož si všimnul Johann Bernoulli, ten jej začal soukromě doučovat (Fuchs, 2001).
Pro výpočet π uvedl několik možných výrazů, ty byly vyjádřeny pomocí nekonečných součinů a řetězových zlomků. Využil tzv. trik od Machina a odvodil několik vzorců. Eulerovi se však podařilo najít řadu, jež konverguje rychleji než všechny ostatní:
O jeho dokonalosti ve výpočtu hodnoty π dokazuje fakt, že nikdo jiný v historii neobjevil lepší způsob výpočtu. Dá se říct, že tímto ukončil historii numerického výpočtu (Beckmann, 1998).
5. Za dob počítačů
Nástup počítačů dal počítání desetinných čísel konstanty π zcela jiný ráz. V 18. a 19. století počítali vědci s desítkami maximálně stovkami číslic, kdežto počítačoví programátoři dokážou pomocí počítačů vypočítat na tisíce či dokonce sta tisíce míst.
V roce 1949 byl proveden první výpočet konstanty π, a to díky ENIAC (Elektonic Numerical Integrator and Copmuter). Výpočet trval 70 hodin a byl určen na 2 037 desetinných míst. Výpočet byl založen na základě Machinova vzorce.
Postupem času se výpočty zrychlovaly a zdokonalovaly. Počítač NORC (Naval Ordnance Research Calculator) v roce 1954 a poté 1955 byl naprogramován pro výpočet na 3 089 míst. Tento výpočet trval pouhých 13 minut. Rekord byl překonán roku 1957 v Londýně, kdy počítač Pegasus vypočítal za 33 hodin π s 10 021 místy. Červenec roku 1958 byl pro výpočet π úspěšný. Během hodiny a čtyřiceti minut dokázal počítač IBM 704 vypočítat 10 000 desetinných míst. Výpočet vycházel z Machinovy a Gregoryho řady. Počítač IBM 7090 v roce 1961, za pomocí Machinova vzorce, vypočítat s přesností na 20 000 míst za 39 minut. První půl milion desetinných míst dokázal v roce 1967 počítač CDC 6600. Jak lze postřehnout neustálým vylepšováním dochází k vyčíslení konstanty π na mnohem více desetinných míst (Beckmann, 1998).
