Otázka: Příklad na analytickou geometrii

Předmět: Matematika

Přidal(a): Studijni-svet.cz

Zadání příkladu:

V soustavě souřadnic Oxy je zobrazena přímka p, která protíná souřadnicové osy v bodech M [-4; 0] a N [0; 2]. Přímka q je rovnoběžná s osou y a prochází bodem A [-6; 5]. Přímky mají průnik v bodě P.

a) Zapište směrnicový tvar rovnice přímky p.

b) Vypočítejte vzdálenost bodů O, P (výsledek nezaokrouhlujte).

Řešení:

a) Směrnicový tvar přímky

1) Na základě přímky MN jsme schopni určit vektor n

$$ \rightarrow _{MN} = (4; 2)$$
$$ \rightarrow _{n} = (2; -4)$$

2) K výpočtu využijeme vzoreček pro obecnou rovnici

$$ax + by + c = 0$$

3) Dosadíme souřadnice A a B z přímky MN

$$2x – 4y + c = 0$$

4) Za x a y dosazíme souřadnice bodu M

$$2(-4) – 4\cdot 0 + c = 0$$

5) Nyní již víme kolik je c a můžeme pokračovat ve výpočtech

$$c = 8$$

6) Znovu dosadíme do obecné rovnice, tentokrát obsadíme i třetí neznámou

$$2x – 4y + 8 = 0$$

7) Celou rovnici pokrátíme 2

$$x – 2y + 4 = 0$$

8) Převedeme si do směrnicového tvaru přímky

$$2y = x + 4$$

9) Přepočítáme na 1 y

$$y = \frac{1}{2} x + 2$$

b) Vzdálenost bodů O, P

1) Nejprve sestavíme rovnice k získání souřadnic bodů P a O

p: y – 2y + 4 = 0

q: x = -6

2) Ze soustavy předešlých rovnic víme

P [-6; -1]

3) Dále víme

O [0; 0]

4) K zjištění vzdálenosti potřebujeme zjistit

$$\rightarrow _{PO} $$

5) Čísla pod odmocninou umocníme a sečteme

$$|\rightarrow _{PO} = \sqrt{6^{2} + 1^{2}}$$

6) Vzdálenost bodů P, O je

$$|\rightarrow _{PO} = \sqrt{37}$$

Časová náročnost: 10 minut

Jedná se o příklad z podzimního maturitního testu 2018.

Článek Analytická geometrie – řešený příklad se nejdříve objevil na Studijni-svet.cz.

Otázka: Příklad na Stereometrii (odchylka přímek)

Předmět: Matematika

Přidal(a): Studijni-svet.cz

Zadání příkladu:

Přímka p protíná souřadnicové osy v mřížových bodech. Přímka q je rovnoběžná s osou y.

Jaká je odchylka přímek p, q?
(Výsledek zaokrouhlete na celé minuty)

a) 36°52′

b) 37°45′

c) 38°40′

d) 39°20′

e) větší než 40°

Řešení:

1) Pro určení odchylky přímek postačí určit odchylku směrových vektorů poznačených na obrázku.

2) Vzoreček pro cos α

$$cosα = \frac{|\vec{u}\cdot\vec{v}|}{|\vec{v}|\cdot|\vec{u}|}$$

3) Dosadíme do vzorce

$$\frac{|0\cdot4-2\cdot(-5)|}{\sqrt{0^{2}+(-2)^{2})}\cdot\sqrt{4^{2}+(-5)^{2}}}$$

4) Roznásobíme a upravíme

$$cosα = \frac{10}{\sqrt{4}\cdot \sqrt{41}}$$

5) Dostaneme výsledný úhel

α = 38°40′

Správně je odpověď C.

Časová náročnost: 4-5 minut

Jedná se o příklad z podzimního maturitního testu 2018.

Článek Analytická geometrie – řešený příklad (2) se nejdříve objevil na Studijni-svet.cz.