Otázka: Slovní úloha na posloupnosti
Předmět: Matematika
Přidal(a): Studijni-svet.cz
Zadání příkladu:
Obrazce sestávají z bílých a tmavých šestiúhelníků uspořádaných do sloupců. Počet šestiúhelníků ve sloupci stoupá (vždy o jeden) z levé i pravé strany až do středu.
Každý obrazec má na začátku i na konci jeden bílý šestiúhelník.
V jednom z dalších obrazců je nejdelší sloupec složen z 59 šestiúhelníků (nad sebou).
a) Určete, jaký bude počet všech tmavých sloupců v tomto obrazci.
b) Určete také počet bílých šestiúhelníků v obrazci.
Řešení:
V obrazci, kde je 59 šestiúhelníků uprostřed se jedná o bílé šestiúhelníky uprostřed
1) Nejdříve si zrekapitulujeme, co již víme
$$a_{1} = 1$$
$$a_{2} = 2$$
$$d = 2$$
$$a_{n} = 57$$
2) Nyní zjistíme, kolikátý je prvek n, podle této rovnice
$$a_{n} = a_{1} + (n-1)2$$
3) Dosadíme, co známe
$$57 = 1 + (n-1)2$$
4) Jedničku si převedeme na levou stranu a na pravé straně roznásobíme závorku 2
$$56 = 2n-2$$
5) Čísla si převedeme na jednu stranu a neznámé také
$$58 = 2n$$
6) Přepočítáme na 1 n
$$n = 29$$
7) Počet tmavých sloupků je tedy dvojnásobkem n (odpověď na otázku a):
$$29\cdot 2 = 58$$
8) Počet členů vypočítáme podle vzorečku
$$s_{n} = \frac{n}{2}(a_{1}+a_{n})$$
9) Dosadíme
$$s_{29} = \frac{29}{2}(1+57)$$
10) Nejdříve sečteme čísla v závorce (58), tímto číslem vynásobíme čitatele a vše pak vydělíme jmenovatelem (2)
$$s_{29} =841$$
11) Nyní můžeme vypočítat počet bílých šestiúhelníku dle tohoto vzorečku
$$x_{B} = 841+59+841$$
12) Počet bílých šestiúhelníků tedy je (odpověď na otázku b):
$$x_{B} = 1741 ks$$
Časová náročnost: 7-8 minut
Jedná se o příklad z jarního maturitního testu 2018.
