Otázka: Řešené příklady z kinematiky hmotného bodu
Předmět: Fyzika
Přidal(a): bubu
Příklad č.1
Zadání:
a) Za jak dlouho překonáme řeku širokou 120 m člunem s rychlostí 4 km/h, když v řece proudí voda rychlostí 3 km/h.
b) Pod jakým úhlem musíme plout abychom dorazili přesně na protějším místě řeky a za jak dlouho to stihneme?
Řešení:
a) s = vt
120 = 10/9 t
t = 108 s = 1 min 48 s
b) a2 + b2 = c2
s = vt
a2 + b2 = c2
42+32 = 25
x = 5
s = vt
120 = 25/18 t
t = 86,4 s
c)
sinß = 3/5
ß = 53,15°
Poznámky:
a) klasické dosazení do vzorce s = vt, unášení proudem nemá vliv.
b) je třeba vypočítat délku vektoru mezi rychlostí vody a člunu, vyjde nám reálná rychlost. Tuto rychlost je třeba dosadit do vzorce s = vt a vypočíst čas.
c) úhel spočteme tak, že přes jednu z goniometrických funkcí spočteme úhel ß, ten pak odečteme od 90°.
Příklad č.2
Zadání:
Řidič auta jedoucího rychlostí 150 km/h uvidí ve vzdálenosti 100 m zátaras. Řidič začne brzdit tak, že každých 5 s poklesne jeho rychlost o 35 km/h.
a) stihne zastavit?
b) pokud ne, jakou rychlostí do zátarasu narazí?
Řešení:
a)
s = vt
v = at
100 = 125/3 t
t = 2,4 t
a:
-175/18 = 5s
– 35/18 = s
a(2,4) = 2,4 * (-35/18) = – 14/3 m/s
b)
v = s/t
v = 125/3 – 14/3 = 37 m/s = 133,2 km/h
Pozn.
Je třeba vypočítat za jak dlouho by auto ujelo vzdálenost ke karambolu bez zpomalení, poté je třeba vypočítat, o kolik auto zpomalí za čas zbývající do nárazu. Pokud zpomalení odečteme od původní rychlosti zjistíme jakou rychlost bude mít auto v daný čas a tedy i to, jakou rychlostí narazí.
Příklad č.3:
Zadání:
Do studny 80 m hluboké pustíme kámen 5 kg těžký. Za jak dlouho a jakou rychlostí dopadne?
Řešení:
s = 1/2gt2
v = gt
80 = 5t2
t = 4s
v = 4*10 = 40 m/s
Poznámky:
Protože všechna tělesa padají stejně není podstatná váha tělesa, je třeba spočítat jak dlouho bude těleso padat a poté čas dosadit do vzorce v = gt z kterého vyjde rychlost při dopadu.
Příklad č.4
Zadání:
Ota jel 18 km rychlostí 68 km/h, pak 25 min rychlostí 90 km/h a nakonec 12 km rychlostí 35 km/h. Urči jeho průměrnou rychlost.
Řešení:
v = st
a:
v = 18,88 m/s
s = 18000 m
t = s/v = 952,94 s
b:
v = 25 m/s
s = vt = 37500 m
t = 1500 s
c:
v = 9,722 m/s
s = 12000 m
t = 1234, 28 s
s = 18000 + 37500 + 12000 = 67500 m = 67, 5 km
t = 952,94 + 1500 + 1234,28 = 3687,22 s
v = 67500/3687,22 = 18,306 m/s = 66 km/h
Poznánky
Je třeba vypočítat rychlost, dráhu a čas v jednotlivých úsecích cesty, poté sečíst celkovou dráhu a čas a dosadit do vzorce v = s/t.
Příklad č.6
zadání:
Hmotný bod se pohybuje po dráze ve shodě se vzorcem s(t) = t3 – 3t2 + t + 2.
a) Urči jakou dráhu ujede za 5 s
b) Jakou rychlost bude mít v t = 5 s?
c) Jaké zrychlení bude mít v t = 5 s?
Řešení:
a)
s = 53 – 3*52 + 5 + 2 = 57m
b)
s‘ = v = 3t2 – 6t + 1 = 46m/s
c)
s“= v‘ = a = 6t – 6 = 24m/s2
Poznámky:
Je třeba znát souvislost mezi derivací dráhy, rychlosti a zrychlením. Po zderivování dráhy vznikne vzoreček pro rychlost kam dosadíme správný čas. Po zderivování vzorečku rychlosti (druhou derivací dráhy) vznikne vzorec pro zrychlení kam opět dosadíme jen správný čas.
Příklad č.7
Zadání:
Vystřelili jsme z praku kámen rychlostí 150 km/h pod elevačním úhlem 65°.
a) urči kdy kámen dopadne
b) urči kde kámen dopadne
c) urči jakou rychlostí kámen dopadne
d) urči do jaké maximální výšky se kámen dostal
Řešení:
a2 + b2 = c2
s = s0 + v0t + ½ at
v = v0 + at
osa x:
x = 17,6t
osa y:
y = 37,7 – ½ 10 t2
a)
0 = 37,7 – ½ 10 t2
td = 7,54 s
b)
sd = 17,6 * 7,54 = 132,7m
c)
vd = 41,6666 m/s
d)
h = 41,6666 * 3,77 + 5 *3,77 = 71,06
Poznámky:
Nejprve je třeba rozložit vektor rychlosti na x a y (pomocí cos(elevační úhel)= x/rychlost a pythagorovi věty) a pro každou osu vytvořit vlastní rovnici S = s0 + v0t + ½ at ( osa x nemá zrychlení, na ose y je zrychlení záporné)
a) kdy kámen dopadne opět na zem vypočteme tím, že do rovnice osy y dosadíme za y 0 (protože ve chvíli dopadu kamene je kámen na y na 0).
b) kde kámen dopadne spočteme tak, že do rovnice osy x dosadíme čas dopadu.
c) rychlost dopadu je vždy stejná jako počáteční rychlost, nemůže se nikdy ztratit
d) maximální výšku v které kámen při svém letu bl vypočteme tak, že čas dopadu vydělíme 2 a dosadíme do rovnice osy y (protože nejvýš je kámen přesně v polovině času letu).
