Otázka: Stavová rovnice ideálního plynu
Předmět: Fyzika
Přidal(a): Michaela H
Ideální plyn
- nahrazujeme jím reálný plyn
Tři předpoklady molekul ideálního plynu:
- Rozměry molekul ideálního plynu jsou zanedbatelně malé ve srovnání se střední vzdáleností molekul od sebe.
- Molekuly ideálního plynu na sebe navzájem silově nepůsobí kromě vzájemných srážek
- Vzájemné srážky molekul ideálního plynu a srážky těchto molekul se stěnami nádoby jsou dokonale pružné.
Vlastnosti ideálního plyny
- Vnitřní energie ideálního plynu s jednoatomovými molekulami se rovná součtu kinetických energií jeho molekul pohybujících se neuspořádaným posuvným pohybem
- Vnitřní energie ideálního plynu s víceatomovými molekulami zahrnuje kromě toho ještě energii molekul konajících rotační pohyb a energii kmitajících atomů v molekulách
- Skutečné plyny se svými vlastnostmi přibližují vlastnostem ideálního plynu, jestliže mají dostatečně vysokou teplotu a nízký tlak
Rozdělení molekul ideálního plynu podle rychlosti
- Rozdělení molekul plynu podle rychlostí matematicky odvodil anglický fyzik C. Maxwell. Pomocí tzv. Lammertova pokusu bylo zjištěno, že rychlosti molekul jsou různé.
- Tabulkou (pro daný počet molekul)
(v, v + ∆v) / (m.s-1) | ∆N/N | |
0 – 100 | 0,014 | 1,4 % |
100 – 200 | 0,081 | 8,1 % |
200 – 300 | 0,165 | 16,5 % |
300 – 400 | 0,214 | 21,4 % |
400 – 500 | 0,206 | 20,6 % |
500 – 600 | 0,151 | 15,1 % |
600 – 700 | 0,092 | 9,2 % |
700 – 800 | 0,048 | 4,8 % |
800 – 900 | 0,020 | 2 % |
nad 900 | 0,009 |
0,9 % |
-
- (v, v + ∆v) / m.s-1 … zvolené intervaly rychlosti
- ∆N/N … střední relativní četnost molekul
- Histogramem
- Nahodilými srážkami mohou molekuly plynů vzduchu získat i větší rychlost, než je úniková rychlost v gravitačním poli Země a uniknou tak ze zemské atmosféry, jejich počet je ale tak malý, že Země svoji atmosféru prakticky neztrácí
Střední kvadratická rychlost
- Okamžitá rychlost molekul plynu je náhodná veličina, proto se také mění kinetická energie posuvného pohybu jednotlivých molekul
- Srážky jsou pružné, proto je vnitřní kinetická energie Ek konstantní
- Na každou molekulu plynu připadá střední kinetická energie Ek/N, kde N je počet molekul
- Zavádíme pojem střední kvadratická rychlost, značíme ji vk a je to statistická veličina, která vyjadřuje rychlost, jíž by se měly pohybovat všechny molekuly při nezměněné celkové vnitřní kinetické energii soustavy, vypočítáme ji ze vzorce:
- Vk = √((3kT)/(m0))
- Boltzmannova konstanta k≈ 1,38·10-23 J·K-1mol-1, T termodynamická teplota plynu a m0 hmotnost jedné molekuly
Střední kinetická energie molekuly plynu
- Ze vztahu pro střední kvadratickou rychlost vyplývá, že molekula ideálního plynu má v důsledku svého neuspořádaného posuvného pohybu střední kinetickou energii Ek, pro kterou platí:
- Ek = ½ mov2k
- jedná se o Ek jedné molekuly plynu
- Každá molekula ideálního plynu má v důsledku neuspořádaného posuvného pohybu střední kinetickou energii, která je přímo úměrná termodynamické teplotě plynu
- Vztah pro Ek umožňuje vyjádřit vnitřní energii U ideálního plynu s N jednoatomovými molekulami, platí tedy:
- Dosadíme-li do tohoto vztahu N = nNA a součin kNA označíme R, kde n je látkové množství plynu, R molární plynová konstanta a T termodynamická teplota plynu
Tlak plynu
- Tepelný pohyb molekul plynu uzavřeného v nádobě má za následek srážky těchto molekul s částicemi vnitřních stěn nádoby, což se projevuje jako střední tlaková síla F plynu na určitou plochu S
- Vztah p = F/S vyjadřuje střední hodnotu tlaku plynu, který můžeme změřit manometrem, např. kapalinovým
- Tlak ideálního plynu je přímo úměrný hustotě molekul NV = N/V, hmotnosti m0 jedné molekuly a druhé mocnině střední kvadratické rychlosti vk, matematicky tuto závislost vyjadřuje základní rovnice pro tlak ideálního plynu
- p = 1/3 * N/V * mov2k
Stavová rovnice pro ideální plyn
- Plyn, který je v rovnovážném stavu, lze charakterizovat stavovými veličinami termodynamickou teplotou T, tlakem p, objemem V a počtem molekul N
- Existují další stavové veličiny, souhrnně se jedná o takové veličiny, které nám charakterizují stav soustavy (teplota, objem, tlak, magnetizace, …) k určení stavu je zapotřebí znát určitý minimální počet stavových veličin, ostatní stavové veličiny jsou na nich závislé
- Rovnice, která vyjadřuje vztah mezi těmito veličinami se nazývá stavová rovnice
Popis stavu plynu veličinami | Tvar stavové rovnice |
p, V, T, N | pV = NkT |
p, V, T, n | pV = nRT |
p, Vm, T | PVm = RT |
p, V, T, m, Mm | pV = m/Mm RT |
p, V, T (m = konst.)
resp. p1, V1, T1 (1. stav) p1, V2, T2 (2. stav) |
pV/T = konst.
resp. p1V1/T1 = p2V2/T2 |
Avogadrův zákon
- Mají-li dva plyny stejný objem, tlak a teplotu, pak pro ně platí rovnice pV = N1kT, pV = N2kT, ze kterých dostáváme N1 = N2
- Tuto skutečnost vyjadřuje Avogadrův zákon:
- Různé ideální plyny o stejném objemu, teplotě a tlaku mají stejný počet molekul.
Izotermický děj s ideálním plynem
- Děj, při kterém je teplota plynu stálá, se nazývá izotermický děj, ze stavové rovnice ideálního plynu vyplývá:
- Při izotermickém ději s ideálním plynem stálé hmotnosti je součin tlaku a objemu plynu stálý (Boylův-Mariottův zákon):
- pV = konst., resp. p1V1 = p2V2
- Při izotermickém ději s ideálním plynem stálé hmotnosti je součin tlaku a objemu plynu stálý (Boylův-Mariottův zákon):
-
- Neboli: Tlak ideálního plynu při izotermickém ději je nepřímo úměrný jeho objemu.
- Graf vyjadřující tlak plynu stálé hmotnosti jako funkci jeho objemu při izotermickém ději se nazývá izoterma
- Při izotermickém ději je ΔU = 0 a z prvního termodynamického zákona vyplývá:
- Teplo QT přijaté ideálním plynem při izotermickém ději je rovno práci W´ kterou plyn při tomto ději vykoná: QT = W´
Izochorický děj s ideálním plynem
- Děj, při němž je objem plynu stálý, se nazývá izochorický děj, ze stavové rovnice pro ideální plyn vyplývá:
- Při izochorickém ději s ideálním plynem stálé hmotnosti je tlak plynu přímo úměrný jeho termodynamické teplotě (zákon Charlesův):
- p/T = konst
- Při izochorickém ději s ideálním plynem stálé hmotnosti je tlak plynu přímo úměrný jeho termodynamické teplotě (zákon Charlesův):
- Graf vyjadřující tlak plynu stálé hmotnosti jako funkci jeho termodynamické teploty nebo jeho objemu při izochorickém ději se nazývá izochora
- Při izochorickém ději plyn nekoná práci a z prvního termodynamického zákona vyplývá:
- Teplo QV přijaté ideálním plynem při izochorickém ději se rovná přírůstku ΔU a jeho vnitřní energie: QV = ΔU = cVmΔT, kde cV je měrná tepelná kapacita plynu při stálém objemu, ΔT přírůstek teploty.
Izobarický děj s ideálním plynem
- Děj, při kterém je tlak plynu stálý, se nazývá izobarický děj, ze stavové rovnice pro ideální plyn vyplývá:
- Při izobarickém ději s ideálním plynem stálé hmotnosti je objem plynu přímo úměrný jeho termodynamické teplotě (zákon Gay-Lussacův): V/T = konst
- Graf vyjadřující objem plynu stálé hmotnosti jako funkci jeho termodynamické teploty, resp. tlak plynu jako funkci jeho objemu, při izobarickém ději se nazývá izobara
- Mění se vnitřní energie plynu a plyn koná práci, tedy dostáváme z prvního termodynamického zákona:
- Teplo Qp přijaté ideálním plynem při izobarickém ději se rovná součtu přírůstku ΔU jeho vnitřní energie a práce, kterou plyn vykoná. Qp = ΔU + W´= cpmΔT, kde cp je měrná tepelná kapacita plynu při stálém tlaku.
Adiabatický děj s ideálním plynem (= Poissonův zákon)
- Při adiabatickém ději neprobíhá tepelná výměna mezi plynem a jeho okolím
- Při tomto ději je tedy Q = 0, takže z prvního termodynamického zákona vyplývá vztah ΔU = W
- Při adiabatickém stlačení (kompresi) plynu v nádobě se působením vnější síly na píst koná práce. Teplota plynu a jeho vnitřní energie se zvětšují
- Při adiabatickém rozpínání (expanzi) koná plyn práci. Teplota plynu a jeho vnitřní energie se při tom zmenšují.
- Pro adiabatický děj s ideálním plynem stálé hmotnosti platí Poissonův zákon:
- pVκ = konst., kde κ (kappa) = cp/cV je Poissonova konstanta
- Poněvadž cp > cV, je κ > 1
- Poissonova konstanta závisí na druhu plynu a její hodnoty pro různé plyny jsou uvedeny v MFChT
- Graf vyjadřující tlak plynu stálé hmotnosti jako funkci jeho objemu při adiabatickém ději se nazývá adiabata