Stavová rovnice ideálního plynu

Proč je zakázané kopírování? 💾 Stáhnout materiálVIP členstvíNahlásit chybu

fyzika

 

Otázka: Stavová rovnice ideálního plynu

Předmět: Fyzika

Přidal(a): Michaela H

 

 

Ideální plyn

  • nahrazujeme jím reálný plyn

 

Tři předpoklady molekul ideálního plynu:

  • Rozměry molekul ideálního plynu jsou zanedbatelně malé ve srovnání se střední vzdáleností molekul od sebe.
  • Molekuly ideálního plynu na sebe navzájem silově nepůsobí kromě vzájemných srážek
  • Vzájemné srážky molekul ideálního plynu a srážky těchto molekul se stěnami nádoby jsou dokonale pružné.

 

Vlastnosti ideálního plyny

  • Vnitřní energie ideálního plynu s jednoatomovými molekulami se rovná součtu kinetických energií jeho molekul pohybujících se neuspořádaným posuvným pohybem
  • Vnitřní energie ideálního plynu s víceatomovými molekulami zahrnuje kromě toho ještě energii molekul konajících rotační pohyb a energii kmitajících atomů v molekulách
  • Skutečné plyny se svými vlastnostmi přibližují vlastnostem ideálního plynu, jestliže mají dostatečně vysokou teplotu a nízký tlak

 

Rozdělení molekul ideálního plynu podle rychlosti

  • Rozdělení molekul plynu podle rychlostí matematicky odvodil anglický fyzik C. Maxwell. Pomocí tzv. Lammertova pokusu bylo zjištěno, že rychlosti molekul jsou různé.
  • Tabulkou (pro daný počet molekul)
(v, v + ∆v) / (m.s-1) ∆N/N  
0 – 100  0,014  1,4 %
100 – 200  0,081  8,1 %
200 – 300  0,165  16,5 %
300 – 400  0,214  21,4 %
400 – 500  0,206  20,6 %
500 – 600  0,151  15,1 %
600 – 700  0,092  9,2 %
700 – 800  0,048  4,8 %
800 – 900  0,020  2 %
nad 900  0,009

 0,9 %

    • (v, v + ∆v) / m.s-1 … zvolené intervaly rychlosti
    • ∆N/N … střední relativní četnost molekul
  • Histogramem
    • Nahodilými srážkami mohou molekuly plynů vzduchu získat i větší rychlost, než je úniková rychlost v gravitačním poli Země a uniknou tak ze zemské atmosféry, jejich počet je ale tak malý, že Země svoji atmosféru prakticky neztrácí

 

Střední kvadratická rychlost

  • Okamžitá rychlost molekul plynu je náhodná veličina, proto se také mění kinetická energie posuvného pohybu jednotlivých molekul
  • Srážky jsou pružné, proto je vnitřní kinetická energie Ek konstantní
  • Na každou molekulu plynu připadá střední kinetická energie Ek/N, kde N je počet molekul
  • Zavádíme pojem střední kvadratická rychlost, značíme ji vk a je to statistická veličina, která vyjadřuje rychlost, jíž by se měly pohybovat všechny molekuly při nezměněné celkové vnitřní kinetické energii soustavy, vypočítáme ji ze vzorce:
    • Vk = √((3kT)/(m0))
  • Boltzmannova konstanta k≈ 1,38·10-23 J·K-1mol-1, T termodynamická teplota plynu a m0 hmotnost jedné molekuly

 

Střední kinetická energie molekuly plynu

  • Ze vztahu pro střední kvadratickou rychlost vyplývá, že molekula ideálního plynu má v důsledku svého neuspořádaného posuvného pohybu střední kinetickou energii Ek, pro kterou platí:
    • Ek = ½ mov2k
    • jedná se o Ek jedné molekuly plynu
  • Každá molekula ideálního plynu má v důsledku neuspořádaného posuvného pohybu střední kinetickou energii, která je přímo úměrná termodynamické teplotě plynu
  • Vztah pro Ek umožňuje vyjádřit vnitřní energii U ideálního plynu s N jednoatomovými molekulami, platí tedy:
  • Dosadíme-li do tohoto vztahu N = nNA a součin kNA označíme R, kde n je látkové množství plynu, R molární plynová konstanta a T termodynamická teplota plynu

 

Tlak plynu

  • Tepelný pohyb molekul plynu uzavřeného v nádobě má za následek srážky těchto molekul s částicemi vnitřních stěn nádoby, což se projevuje jako střední tlaková síla F plynu na určitou plochu S
  • Vztah p = F/S vyjadřuje střední hodnotu tlaku plynu, který můžeme změřit manometrem, např. kapalinovým
  • Tlak ideálního plynu je přímo úměrný hustotě molekul NV = N/V, hmotnosti m0 jedné molekuly a druhé mocnině střední kvadratické rychlosti vk, matematicky tuto závislost vyjadřuje základní rovnice pro tlak ideálního plynu
    • p = 1/3 * N/V * mov2k

 

Stavová rovnice pro ideální plyn

  • Plyn, který je v rovnovážném stavu, lze charakterizovat stavovými veličinami termodynamickou teplotou T, tlakem p, objemem V a počtem molekul N
  • Existují další stavové veličiny, souhrnně se jedná o takové veličiny, které nám charakterizují stav soustavy (teplota, objem, tlak, magnetizace, …) k určení stavu je zapotřebí znát určitý minimální počet stavových veličin, ostatní stavové veličiny jsou na nich závislé
  • Rovnice, která vyjadřuje vztah mezi těmito veličinami se nazývá stavová rovnice
Popis stavu plynu veličinami Tvar stavové rovnice
p, V, T, N pV = NkT
p, V, T, n pV = nRT
p, Vm, T PVm = RT
p, V, T, m, Mm pV = m/Mm RT
p, V, T (m = konst.)

resp.

p1, V1, T1 (1. stav)

p1, V2, T2 (2. stav)

pV/T = konst.

resp.

p1V1/T1 = p2V2/T2

 

Avogadrův zákon

  • Mají-li dva plyny stejný objem, tlak a teplotu, pak pro ně platí rovnice pV = N1kT, pV = N2kT, ze kterých dostáváme N1 = N2
  • Tuto skutečnost vyjadřuje Avogadrův zákon:
    • Různé ideální plyny o stejném objemu, teplotě a tlaku mají stejný počet molekul.

 

Izotermický děj s ideálním plynem

  • Děj, při kterém je teplota plynu stálá, se nazývá izotermický děj, ze stavové rovnice ideálního plynu vyplývá:
    • Při izotermickém ději s ideálním plynem stálé hmotnosti je součin tlaku a objemu plynu stálý (Boylův-Mariottův zákon):
      • pV = konst., resp. p1V1 = p2V2
    • Neboli: Tlak ideálního plynu při izotermickém ději je nepřímo úměrný jeho objemu.
  • Graf vyjadřující tlak plynu stálé hmotnosti jako funkci jeho objemu při izotermickém ději se nazývá izoterma
  • Při izotermickém ději je ΔU = 0 a z prvního termodynamického zákona vyplývá:
    • Teplo QT přijaté ideálním plynem při izotermickém ději je rovno práci kterou plyn při tomto ději vykoná: QT = W´

 

Izochorický děj s ideálním plynem

  • Děj, při němž je objem plynu stálý, se nazývá izochorický děj, ze stavové rovnice pro ideální plyn vyplývá:
    • Při izochorickém ději s ideálním plynem stálé hmotnosti je tlak plynu přímo úměrný jeho termodynamické teplotě (zákon Charlesův):
      • p/T = konst
  • Graf vyjadřující tlak plynu stálé hmotnosti jako funkci jeho termodynamické teploty nebo jeho objemu při izochorickém ději se nazývá izochora
  • Při izochorickém ději plyn nekoná práci a z prvního termodynamického zákona vyplývá:
    • Teplo QV přijaté ideálním plynem při izochorickém ději se rovná přírůstku ΔU a jeho vnitřní energie: QV = ΔU = cVmΔT, kde cV je měrná tepelná kapacita plynu při stálém objemu, ΔT přírůstek teploty.

 

Izobarický děj s ideálním plynem

  • Děj, při kterém je tlak plynu stálý, se nazývá izobarický děj, ze stavové rovnice pro ideální plyn vyplývá:
    • Při izobarickém ději s ideálním plynem stálé hmotnosti je objem plynu přímo úměrný jeho termodynamické teplotě (zákon Gay-Lussacův): V/T = konst
  • Graf vyjadřující objem plynu stálé hmotnosti jako funkci jeho termodynamické teploty, resp. tlak plynu jako funkci jeho objemu, při izobarickém ději se nazývá izobara
  • Mění se vnitřní energie plynu a plyn koná práci, tedy dostáváme z prvního termodynamického zákona:
    • Teplo Qp přijaté ideálním plynem při izobarickém ději se rovná součtu přírůstku ΔU jeho vnitřní energie a práce, kterou plyn vykoná. Qp = ΔU + W´= cpmΔT, kde cp je měrná tepelná kapacita plynu při stálém tlaku.

 

 

Adiabatický děj s ideálním plynem (= Poissonův zákon)

  • Při adiabatickém ději neprobíhá tepelná výměna mezi plynem a jeho okolím
  • Při tomto ději je tedy Q = 0, takže z prvního termodynamického zákona vyplývá vztah ΔU = W
  • Při adiabatickém stlačení (kompresi) plynu v nádobě se působením vnější síly na píst koná práce. Teplota plynu a jeho vnitřní energie se zvětšují
  • Při adiabatickém rozpínání (expanzi) koná plyn práci. Teplota plynu a jeho vnitřní energie se při tom zmenšují.
  • Pro adiabatický děj s ideálním plynem stálé hmotnosti platí Poissonův zákon:
    • pVκ  = konst., kde κ (kappa)  = cp/cV je Poissonova konstanta
  • Poněvadž cp > cV, je κ > 1
  • Poissonova konstanta závisí na druhu plynu a její hodnoty pro různé plyny jsou uvedeny v MFChT
  • Graf vyjadřující tlak plynu stálé hmotnosti jako funkci jeho objemu při adiabatickém ději se nazývá adiabata