Otázka: Příklad na slovní úlohy z trojčlenky

Předmět: Matematika

Přidal(a): Studijni-svet.cz

Zadání příkladů:

Ke každé úloze přiřaďte správný výsledek:

1) Petr má 270 Kč. Karel má o polovinu méně. Kolik Kč mají pánové dohromady?

2) Do banky byl vloženo 50 500 Kč na 2 roky. Úroková sazba za rok činí 0,5 %, úroky se zdaňují 15 % a na účet se připisují vždy na konci roku. Kolik Kč přibyde ke vkladu za 2 roky? (Zaokrouhlete na celé číslo)

3) Stará poštovní známka za poslední rok zvedla svou cenu 2x a to vždy o 25% z předešlé ceny. Nyní by Vás přišla na 750 Kč. Kolik stála před rokem?

Možné odpovědi:

A) Méně než 400 Kč

B) 430 Kč

C) 450 Kč

D) 480 Kč

E) jiný počet korun

Řešení:

Příklad 1

1) Poměrem vypočítáme kolik Kč má Karel:

Petr …. 270 Kč
Karel .. 270 : 1,5 = 180 Kč

2) Finanční obnos Petra a Karla sečteme:

270 + 180 = 450 Kč

Správně je možnost (C)

Příklad 2

1) Nejdříve vypočítáme úrok:

u= 50 500 · 0,005 = 252,5 Kč

2) Nyní vypočítáme úrok s 15% zdaněním (za 1 rok):

252,5 · 0,85 = 214,625 Kč

3) Za dva roky bude na účet přičteno (vypočítáme částku po zdanění na 2 roky):

p = 2 · x

p = 2 · 214,625 ≐ 430 Kč

Správně je možnost (B)

Příklad 3

1) Nejdříve vypočítáme, kolik stála známka po první slevě:

750 …….. 125 %
y ………… 100 %

$$y = \frac{100}{125}750$$

$$y = 600$$

2) Nyní můžeme počítat, jaká byla cena známky před rokem:

600 ….. 125 %
y ………. 100 %

$$y = \frac{100}{125}600$$

$$y = 480 Kč$$

Správně je možnost (D)

Časová náročnost: 7-8 minut

Jedná se o příklad z jarního maturitního testu 2018.

Článek Slovní úlohy na trojčlenku – řešené příklady se nejdříve objevil na Studijni-svet.cz.

Otázka: Rovnice a přiřazení intervalu řešení

Předmět: Matematika

Přidal(a): Studijni-svet.cz

Zadání příkladu:

Ke každé rovnici přiřaďte interval (A-E), v němž je obsaženo řešení rovnice, případně prázdná množina (F), pakliže rovnice nemá řešení. Rovnice jsou řešené v oboru R.

Rovnice k vyřešení:

$$1) 3^{2x}=9^{-x}$$

$$2) 2^{2x}\cdot 2^{-x}=\frac{1}{2}$$

$$3) log(x-2)=log(1-x)$$

$$4) 2\cdot logx=1$$

Intervaly pro přiřazení řešení rovnic:

A) (-∞; -1〉

B) (-1; 1〉

C) (1; 2〉

D) (2; 3〉

E) (3; +∞)

F) ø

Řešení:

Příklad 1

1) Rovnici upravíme

$$3^{2x}=9^{-x}$$

$$3^{2x}=3^{-2}x$$

2) 3 na obou stranách se nám vyruší

$$2x=-2x$$

3) Neznámé sečteme a číslo převedeme na druhou stranu, v tomto případě zde žádné není, tak tam bude 0

$$4x=0$$

4) Přepočítáme pro 1x, číslo se v tomto případě nezmění

$$x=0$$

Příklad 1 patří do intervalu (B), tj. (-1; 1〉

Příklad 2

1) Levou stranu roznásobíme, pravou převedeme do jiného tvaru

$$2^{2x}\cdot 2^{-x}=\frac{1}{2}$$

$$2x=2^{-1}$$

2) Přepočítáme pro 1x

$$x=-1$$

Příklad 2 patří do intervalu (A), tj. (-∞; -1〉

Příklad 3

1) Na obou stranách vyrušíme log

$$log(x-2)=log(1-x)$$

$$x-2=1-x$$

2) Neznámé převedeme na jednu stranu a čísla na druhou

$$2x=3$$

3) Přepočítáme pro 1x

$$x=1,5$$

Příklad 3 patří do intervalu (F), tj. ø

Příklad 4

1) Zbavíme se 2 na levé straně tak, že s ní vydělíme číslo na pravé straně

$$2\cdot logx=1$$

$$log(x)=-0,5$$

2) Vypočítáme x

$$x=\sqrt{10}$$

Příklad 4 patří do intervalu (E), tj. (3; +∞)

Časová náročnost: 7-9 minut

Jedná se o příklad z jarního maturitního testu 2018.

Článek Rovnice a přiřazení intervalu řešení – řešený příklad se nejdříve objevil na Studijni-svet.cz.

Otázka: Příklad na pravděpodobnost

Předmět: Matematika

Přidal(a): Studijni-svet.cz

Zadání příkladu:

Máme 9 různých karet. Každá z nich obsahuje jeden ze tří obrazců (kruh, čtverec, trojúhelník) v jedné ze tří možných barev (modrá, černá, šedá). Zamícháme karty a náhodně dáme pryč 2 z nich.

Jaká je pravděpodobnost, že ani jedna z odebraných karet, na sobě nebude mít trojúhelník ani obrazec černé barvy?

$$a) \frac{1}{6}$$

$$b) \frac{2}{9}$$

$$c) \frac{1}{3}$$

$$d) \frac{4}{9}$$

e) jiná pravděpodobnost

Řešení:

1) Nejdříve si musíme zrekapitulovat, jaké karty máme k dispozici

3 s obrazci šedé barvy (kruh, čtverec, trojúhelník)

3 s obrazci černé barvy (kruh, čtverec, trojúhelník)

3 s obrazci modré barvy (kruh, čtverec, trojúhelník)

2) Pravděpodobnost se vypočítá jako počet správných případů, které vydělíme počtem všech případů. Všechny případy jsou počet dvojčlenných kombinací z devíti prvků. Správné případy jsou počet dvoučlenných kombinací ze čtyř prvků (zbývajících pět prvků do devíti jsou nepřípustné případy, tj. černá nebo trojúhelník).

$$p=\frac{(_{2}^{4})}{(_{2}^{9})}$$

3) Se složeným zlomkem si poradíme tak, že nejdříve vynásobíme jmenovatele, ty posléze přijdou do čitatele, dále roznásobíme čitatele, které dáme do jmenovatele; dostává tento výsledek

$$\frac{4}{36}$$

4) Upravíme, vydělíme 4 čitatele a jmenovatele a získáme číslo

$$\frac{1}{6}$$

Správně je odpověď (a)

Časová náročnost: 5-6 minut

Jedná se o příklad z jarního maturitního testu 2018.

Článek Pravděpodobnost a kombinace – řešený příklad se nejdříve objevil na Studijni-svet.cz.

Otázka: Příklad na objem a obsah kužele

Předmět: Matematika

Přidal(a): Studijni-svet.cz

Zadání příkladu:

Máme sklenici ve tvaru rotačního kužele. Voda, která je v ni má objem 40,5π cm³ a nesahá až po okraj sklenice, ale jen 6 cm od vrcholu sklenice (spodek sklenice).

Jaký je obsah plochy sklenice smáčené vodou?

(Zaokrouhlete na desetiny cm čtverečních)

a) 51,9 cm2

b) 54,3 cm2

c) 106,0 cm2

d) 169,5 cm2

e) 211,9 cm2

Řešení:

1) Nejdříve počítáme podle vzorce na objem kužele, abychom zjistili poloměr, který budete potřebovat pro výpočet povrchu:

$$V=\frac{1}{3}π\cdot r^{2}\cdot v$$

2) Dosadíme:

$$40,5π = \frac{1}{3}π\cdot r^{2}\cdot 6$$

3) Ludolfovo číslo se nám na obou stranách anuluje; dále musíme dát pravou stranu na stejného jmenovatele, tedy musíme číslo vynásobit 3; výsledek pak musíme vydělit 6, protože ji převádíme na druhou stranu má opačný efekt

$$r^{2} = 20,25$$

4) Odmocníme:

$$r=4,5cm$$

5) Nyní můžeme vypočítat průměr dle vzorce:

$$d^{2} = r^{2} + v^{2}$$

6) Dosadíme:

$$d^{2} = 4,5^{2} + 6^{2}$$

7) Na pravé straně se zbavíme mocnin a umocníme čísla

$$d^{2} = 56,25$$

8) Výslek odmocníme, aby nám vycházel pro 1d

$$d = 7,5 cm$$

9) Konečně se dostáváme k výpočtu plochy sklenice, použijeme vzoreček:

$$S=π\cdot r\cdot d$$

10) Dosadíme:

$$S=π\cdot 4,5\cdot 7,5$$

11) Zbývá už jen vynásobit výsledek:

$$S=106cm^{2}$$

Správně je odpověď (c)

Časová náročnost: 5-7 minut

Jedná se o příklad z jarního maturitního testu 2018.

Článek Objem a obsah kužele – řešený příklad se nejdříve objevil na Studijni-svet.cz.

Otázka: Příklad na objem kvádru 2

Předmět: Matematika

Přidal(a): Studijni-svet.cz

Zadání příkladu:

Z papírového obdélníku o rozměrech 27 cm x 10 cm je zhotoven kvádr. Tmavé čtverce (vyznačené na obrázku) slouží jako podstava kvádru, zbylé bílé části se rozloží mezi boční stěny kvádru. Kvádr je po hranách přelepen lepící páskou tak, aby se papír nikde nepřekrýval.

Jaký je objem kvádru?

A) 250 cm²

B) 270 cm²

C) 275 cm²

D) 550 cm²

E) jiný objem

Řešení:

1) Pro objem kvádru použijeme vzoreček

$$V=a\cdot a\cdot v$$

2) Dosadíme

$$V=5\cdot 5\cdot 11$$

3) Objem kvádru je

V = 275 cm³

Správně je tedy za (C)

Časová náročnost: 3 minuty

Jedná se o příklad z jarního maturitního testu 2018.

Článek Objem kvárdu – řešený příklad se nejdříve objevil na Studijni-svet.cz.

Otázka: Obsah trojúhelníku

Předmět: Matematika

Přidal(a): Studijni-svet.cz

Zadání příkladu:

Je dán pětiúhelník ABCED který je složen ze čtverce ABCD a trojúhelníku CED. Víme obsahy čtverce a trojúhelníku:

$$Δ CED = 30 cm^{2}$$

$$□ ABCD = 100 cm^{2}$$

Jaký je obsah trojúhelníku ABE?

A) Menší než 75 cm²

B) 75 cm²

C) 78 cm²

D) 80 cm²

E) Větší než 80 cm²

Řešení:

1) Pomocí vzorečku na obsah čtverce ABCD, vypočítáme délku strany a

$$S_{č} = a^{2}$$

2) Dosadíme

$$100 = a^{2}$$

3) Nyní víme délku strany a

$$a = 10 cm$$

4) Nyní stejnou dosazovací metodou využijeme při výpočtu výšky v trojúhelníku CDE:

$$S_{DCE}=\frac{v\cdot a}{2}$$

5) Dosadíme

$$30=\frac{v\cdot 10}{2}$$

6) Nyní víme délku výšky v; zjistili jsme ji tak, že jsme levou strany převedly na stejného jmenovatele, tedy číslo jsme vynásobili 2 (čitatelem zlomku); pak už jsme 10 převedli na druhou stranu a tím pádem se nám krát proměnilo v děleno

$$v = 6cm$$

7) Známe již vše potřebné pro výpočet obsahu trojúhelníku ABE, použijeme vzoreček

$$S_{ABE}=\frac{v_{c}\cdot a}{2}$$

8) Dosadíme (Výšku tohoto trojúhelníku získáme součtem délky strany a čtverce a výšky v u trojúhelníku)

$$S_{ABE}=\frac{16\cdot 10}{2}$$

9) Máme vypočten obsah trojúhelníku ABE

$$S_{ABE}=80 cm^{2}$$

Správně je odpověď D.

Časová náročnost: 5-6 minut

Jedná se o příklad z jarního maturitního testu 2018.

Článek Obsah trojúhelníku – řešený příklad se nejdříve objevil na Studijni-svet.cz.

Otázka: Příklad na obsah kruhu 1

Předmět: Matematika

Přidal(a): Studijni-svet.cz

Zadání příkladu:

Obdélník ABCD má následující vrcholy: A [-3; -1], B [-2; -1], C [2; 1], D [1; 3]. K obdélníku je opsaná kružnice k.

Jaký je obsah kruhu ohraničeného kružnicí k?

$$a) 25 π$$

$$b) \frac{94}{5}π$$

$$c) \frac{25}{2}π$$

$$d) 5 π$$

$$e) \frac{25}{4}π$$

Řešení:

Střed opsané kružnice je v průsečíku úhlopříček obdélníku ABCD. Průsečík je v polovině úhlopříček AC i BD.

1) Jsme schopni z obrázku poznat délku úsečky AC, která jest 5 cm. Poloměr naší opsané kružnice bude tedy polovina, tj. 2,5 cm. Nyní můžeme počítat obsah kruhu:

$$S=π\cdot r^{2}$$

2) Dosadíme

$$S=π\cdot 2,5^{2}$$

3) Umocníme číslo

$$S=\frac{25}{4}π$$

Správně je tedy odpověď E.

Časová náročnost: 3-5 minut

Jedná se o příklad z jarního maturitního testu 2018.

Článek Obsah kruhu – řešený příklad se nejdříve objevil na Studijni-svet.cz.

Otázka: Příklad na vektory

Předmět: Matematika

Přidal(a): Studijni-svet.cz

Zadání příkladu:

Máme vektor u^→, který je umístěn jako orientovaná úsečka. Počáteční i koncový bod leží v mřížovém bodě. Dále máme vektor v^→, který je na vektor u kolmý.

Jaké jsou souřadnice x vektoru v^→?

a) -15

b) -12

c) -9

d) -8

e) Vektor v^→= (x; 10) nemůže být nikdy kolmý k vektoru u^→.

Řešení:

1) Z obrázku vyčteme, že:

$$\vec{v} = (-4; -6)$$

2) Souřadnice x kolmého vektoru bude shodná se souřadnicí y vektoru v^→; souřadnice y kolmého vektoru bude odpovídat souřadnici x vektoru v^→, jen bude na opačné straně, tedy s +: vektor kolmý = (-6; 4)

3) (-6; 4) vydělíme 2

(-3; 2)

4) Vynásobíme 5, aby druhý člen (y) byl 10, první člen bude v takovém případě – 15, což je hodnota x.

(x; 10) ⇒ (-15; 10)

x = -15

Správně je tedy možnost (a).

Časová náročnost: 3-4 minuty

Jedná se o příklad z jarního maturitního testu 2018.

Článek Vektory – řešený příklad se nejdříve objevil na Studijni-svet.cz.

Otázka: Příklad na průnik množin

Předmět: Matematika

Přidal(a): Studijni-svet.cz

Zadání příkladu:

Na obrázku jsou znázorněny množiny A, B, C. Množina A má všechna čísla uvnitř kruhu. Množina B v obdélníku a množina C v trojúhelníku. Výsledkem sjednocení všech tří množin je pětiprvková množina {0; 1; 2; 3; 4}.

Které z těchto tvrzení je pravdivé?

a) B = ø

b) A ∩ B = ø

c) A ∩ C = ø

d) B ∩ C = ø

e) žádné z výše uvedených tvrzení

Řešení:

1) Zrekapitulujeme si, co je patrné z obrázku:

A = {0; 1; 2; 3}

B = {0}

C = {2; 3; 4}

2) Z výčtu množin je tedy zřejmé, že množiny B a C nemají žádný společný průnik:

Správně je tedy d) B ∩ C = ø.

Časová náročnost: 3-4 minuty

Jedná se o příklad z jarního maturitního testu 2018.

Článek Průnik množin – řešený příklad se nejdříve objevil na Studijni-svet.cz.

Otázka: Příklad na rovnice

Předmět: Matematika

Přidal(a): Studijni-svet.cz

Zadání příkladu:

Ověřte, která z těchto rovnic má v oboru R právě jedno řešení:

$$a) x^{2}+1=0$$

$$b) (x+1)^{2}=x^{2}+1$$

$$c) x^{2}-1=0$$

$$d) x^{2}=x$$

e) Žádná z výše uvedených rovnic

Řešení:

a) Rovnice nemá v oboru R právě jedno řešení.

1) Dosadíme do vzorečku pro diskriminant

$$D=b^{2}−4\cdot a\cdot c$$

$$D=0^{2}-4\cdot 1\cdot 1$$

2) Nyní vypočítáme diskriminant

$$D=-4⇒ø$$

b) Rovnice má v oboru R právě jedno řešení.

1) Rozepíšeme první závorku podle vzorečku

$$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$$

$$(x+1)^{2}=x^{2}+1$$

$$x^{2}+2x+1=x^{2}+1$$

2) Neznámé si ponecháme na jedné straně a čísla převedeme na druhou

$$2x=0$$

3) Vypočítáme pro 1x, výsledek se v tomto případě nezmění, rovnice má 1 řešení

$$x=0$$

c) Rovnice nemá v oboru R právě jedno řešení (má dvě řešení).

1) Na levé staně máme opět schovaný vzoreček, dáme jej do složeného stavu:

$$x^{2}-1=0$$

$$(x-1)(x+1)=0$$

2) Existují dvě řešení

$$x_{1}=1; x_{2}=-1$$

d) Rovnice nemá v oboru R právě jedno řešení (má dvě řešení).

1) Rovnici si upravíme, tak abychom mohli ověřit platnost:

$$x^{2}=x$$

$$x^{2}-x=0$$

2)

$$x(x-1)=0$$

3) Existují dvě řešení

$$x_{1}=0; x_{2}=1$$

e) Rovnice z příkladu b) má v oboru R právě jedno řešení.

Časová náročnost: 7 minut

Jedná se o příklad z jarního maturitního testu 2018.

Článek Rovnice (určení počtu řešení) – řešený příklad se nejdříve objevil na Studijni-svet.cz.