Otázka: Příklad na analytickou geometrii

Předmět: Matematika

Přidal(a): Studijni-svet.cz

Zadání příkladu:

V soustavě souřadnic Oxy je zobrazena přímka p, která protíná souřadnicové osy v bodech M [-4; 0] a N [0; 2]. Přímka q je rovnoběžná s osou y a prochází bodem A [-6; 5]. Přímky mají průnik v bodě P.

a) Zapište směrnicový tvar rovnice přímky p.

b) Vypočítejte vzdálenost bodů O, P (výsledek nezaokrouhlujte).

Řešení:

a) Směrnicový tvar přímky

1) Na základě přímky MN jsme schopni určit vektor n

$$ \rightarrow _{MN} = (4; 2)$$
$$ \rightarrow _{n} = (2; -4)$$

2) K výpočtu využijeme vzoreček pro obecnou rovnici

$$ax + by + c = 0$$

3) Dosadíme souřadnice A a B z přímky MN

$$2x – 4y + c = 0$$

4) Za x a y dosazíme souřadnice bodu M

$$2(-4) – 4\cdot 0 + c = 0$$

5) Nyní již víme kolik je c a můžeme pokračovat ve výpočtech

$$c = 8$$

6) Znovu dosadíme do obecné rovnice, tentokrát obsadíme i třetí neznámou

$$2x – 4y + 8 = 0$$

7) Celou rovnici pokrátíme 2

$$x – 2y + 4 = 0$$

8) Převedeme si do směrnicového tvaru přímky

$$2y = x + 4$$

9) Přepočítáme na 1 y

$$y = \frac{1}{2} x + 2$$

b) Vzdálenost bodů O, P

1) Nejprve sestavíme rovnice k získání souřadnic bodů P a O

p: y – 2y + 4 = 0

q: x = -6

2) Ze soustavy předešlých rovnic víme

P [-6; -1]

3) Dále víme

O [0; 0]

4) K zjištění vzdálenosti potřebujeme zjistit

$$\rightarrow _{PO} $$

5) Čísla pod odmocninou umocníme a sečteme

$$|\rightarrow _{PO} = \sqrt{6^{2} + 1^{2}}$$

6) Vzdálenost bodů P, O je

$$|\rightarrow _{PO} = \sqrt{37}$$

Časová náročnost: 10 minut

Jedná se o příklad z podzimního maturitního testu 2018.

Článek Analytická geometrie – řešený příklad se nejdříve objevil na Studijni-svet.cz.

Otázka: Příklad na objem kvádru

Předmět: Matematika

Přidal(a): Studijni-svet.cz

Zadání příkladu:

V kvádru ABCDEFGH se čtvercovou podstavou ABCD platí:

Vrchol C je od hrany GH vzdálen 3 cm stejně jako od stěnové úhlopříčky BD, tedy |C; ↔ GH| = |C; ↔ BD| = 3 cm. Zadané rozměry jsou vyznačeny na obrázku.

Jaký je objem kvádru?

$$a) 27   cm^{3}$$

$$b) 27\sqrt{2}   cm^{3}$$

$$c) 27\sqrt{3}   cm^{3}$$

$$d) 54   cm^{3}$$

$$e) jiný$$

Řešení:

1) Pro výpočet objemu potřebujeme znát rozměry čtvercové podstavy. Délka celé úhlopříčky AC je 6 cm.

2) Je možné určit velikost hrany úhlopříčky:

$$u = a\sqrt{2}$$

3)Dosadíme do vzorce:

$$6 = a\sqrt{2}$$

4) Čísla převedeme na jednu stranu a neznámou na druhou

$$a = 3\sqrt{2} cm$$

5) Nyní již můžeme počítat objem:

$$V = a^{2} \cdot v$$

6) Dosadíme do vzorečku:

$$V = (3\sqrt{2})^{2} \cdot 3$$

7) Zbavíme se závorky a vypočítáme:

$$V = 54 cm^{3}$$

Správně je tedy za (d).

Časová náročnost: 7 minut

Jedná se o příklad z podzimního maturitního testu 2018.

Článek Objem kvádru – řešený příklad se nejdříve objevil na Studijni-svet.cz.

Otázka: Příklad na objem válce

Předmět: Matematika

Přidal(a): Studijni-svet.cz

Zadání příkladu:

Máme 2 nádoby, které mají tvar válce. První z nich je 3x vyšší než druhá, ale průměr dna má 2x menší než druhá. První nádobu naplníme po okraj vodou a potom všechnu vodu přelijeme do druhé nádoby, ve které nic nebylo.

Jakou část objemu druhé nádoby voda zaplní?

a) 3/4

b) 2/3

c) 2/9

d) 1/5

e) Voda přeteče, objem druhé nádoby je menší než objem první nádoby

Řešení:

1) Vypočítáme objem prvního válce

$$V_{1} = π(\frac{d}{2})^{2} 3v$$

2) Zbavíme se závorky (roznásobíme a upravíme)

$$V_{1}=\frac{3}{4}\pi d^{2}v$$

Objem první nádoby je 3/4 objemu druhé nádoby, správně je tedy za (a)

3) Vypočítáme objem druhého válce

$$V_{2} = π (\frac{2d}{2})^{2} v$$

4) Zbavíme se závorky, dvojky se nám vyruší a zbyde jen d na druhou

$$V_{2} = π d^{2}v$$

Časová náročnost: 6-8 minut

Jedná se o příklad z podzimního maturitního testu 2018.

Článek Objem válce – řešený příklad se nejdříve objevil na Studijni-svet.cz.

Otázka: Příklad na goniometrické funkce (tangens)

Předmět: Matematika

Přidal(a): Studijni-svet.cz

Zadání příkladu:

Střecha chalupy překrývá obytnou část a kůlnu. Nejvyšší stěna má výšku h. Rozměry jsou uvedené v náčrtku, stěny s podlahou svírají pravý úhel.

Jaká je výška h nejvyšší stěny chalupy?

a) menší než 3,5 m

b) 3,5 m

c) 3,6 m

d) 3,7 m

e) větší než 3,7 m

Řešení:

1) Na obrázku jsou 2 trojúhelníky, které mají shodný úhel a (využíváme tangens úhlu a):

tg(a)= délka protilehlé odvěsny/délka přilehlé odvěsny

$$tg a=\frac{0,6}{2,5}$$

2) Vypočítáme si kolik má °:

a = 13,5°

3) Nyní dosadíme do vzorce pro vypoččet nejdelší strany:

$$tg 13,5=\frac{x}{5}$$

4) Vyšlo nám, o kolik je nejdelší strana delší než druhá nejdelší strana (2,3 m)

x = 1,2 m

5)Teď už jen sečteme a získáme délku nejdelší strany h:

2,3 m + 1,2 m = 3,5 m

Správná odpověď je tedy (b).

Časová náročnost: 4-6 min

Jedná se o příklad z podzimního maturitního testu 2018.

Článek Goniometrické funkce (tangens) – řešený příklad se nejdříve objevil na Studijni-svet.cz.

Otázka: Příklad na obsah mnohoúhelníku

Předmět: Matematika

Přidal(a): Studijni-svet.cz

Zadání příkladu:

Osově souměrný rovinný obrazec je tvořen ze 2 shodných kosočtverců.

Obvod obrazce je 24 cm a je vyznačený úhel φ má velikost 140°.

Jaký je obsah obrazce?

(Výsledek je zaokrouhlen na celé cm čtvereční)

$$a) 21 cm^{2}$$

$$b) 24 cm^{2}$$

$$c) 27 cm^{2}$$

$$d) 28 cm^{2}$$

$$e) 30 cm^{2}$$

Řešení:

Obrazec je osově souměrný obrazec a lze jej rozdělit na dva totožné kosočtverce. Jejich vnitřní úhly jsou vyznačeny na obrázku.

1) Pro výpočet obsahu poloviny obrazce využijeme následující vzorec

$$s_{k} = a^{2} · sin α$$

2) Do vzorce dosadíme

$$s_{k} = 4^{2} · sin 20°$$

3) Vypočítáme

$$ s_{k} = 14,6 cm^{2}$$

4) Nyní potřebujeme vypočítat obsah celého obrazce

$$s_{o} = 2 · s_{k}$$

5) Dosadíme

$$s_{o} = 2 · 15$$

6) Vyjde nám správná odpověď za (e)

$$s_{o} = 30 cm^{2}$$

Časová náročnost: 5-6 minut

Jedná se o příklad z podzimního maturitního testu 2018.

Článek Obsah mnohoúhelníku – řešený příklad se nejdříve objevil na Studijni-svet.cz.

Otázka: Slovní úloha na trojčlenku

Předmět: Matematika

Přidal(a): Studijni-svet.cz

Zadání příkladu:

Obchodní řetězec si na 13 týdnů v létě objednal vejce od 2 farmářů – Marka a Petra.

Marek řetězci prodával týdně o pětinu vajec více než Petr.

Každý pracovní den prodal Marek řetězci pětinu svého týdenního prodeje, tedy 600 vajec.

Rozhodněte, zda jsou následující tvrzení pravdivá:

a) Petr prodával řetězci každý týden o 20 % méně vajec než Marek.

b) Petr prodával řetězci každý týden o 500 vajec méně než Marek.

c) Marek s Petrem prodávali řetězci dohromady 5 500 vajec týdně.

d) Za 13 letních týdnů prodal Marek řetězci o 20 % vajec více než Petr.

Řešení:

1) Nejdříve si vypočítáme, kolik vajec týdně prodává Petr

Marek…. 3 000 vajec týdně

Petr…….. (6/5)x = 3 000$$

Petr……..x = 2500 vajec týdně

2) (a) NE, Petr neprodává o 20 % méně vajec než Marek

3000 …. 100%

2500 …. x %

$$\frac{x}{100} = \frac{2500}{3000}$$

$$x = 83,\overline{3}%$$

3) (b) ANO, Petr prodává o 500 vajec týdně méně než Marek

3 000 – 2 500 = 500

4) (c) ANO, Petr a Marek dohromady týdně prodají 5 500 vajec

3000 + 2500 = 5 500

5) (d) ANO, za 13 letních týdnů prodal Marek řetězci o 20 % vajec víc

32 500 …. 100 %

39 000 …. y %

$$\frac{y}{100} = \frac{39000}{32500}$$

y = 120 %

Časová náročnost: 5-6 minut

Jedná se o příklad z podzimního maturitního testu 2018.

Článek Slovní úloha (trojčlenka) – řešený příklad se nejdříve objevil na Studijni-svet.cz.

Otázka: Příklad na soustavy rovnic

Předmět: Matematika

Přidal(a): Studijni-svet.cz

Zadání příkladu:

Modelce Tereze bylo za práci přislíbeno o 5 000 Kč více než modelce Marii, nakonec si však obě vydělaly stejně. Přitom Tereza dostala o polovinu více, než ji slíbili a Marie získala dokonce dvojnásobek toho, co ji slíbili.

Využijte rovnice nebo soustavy rovnic k výpočtu, kolik Kč si vydělaly dohromady Tereza s Marií.

Řešení:

1) Původní výdělek modelek

Marie……. x
Tereza…… x + 5 000

2) Skutečný výdělek modelek

Marie……. 2x
Tereza…… (3/2)*(x+5 000)

3) Čísla s neznámými si dosadíme do rovnice

$$2x = \frac{3}{2} (x + 5 000)$$

4) Zbavíme se závorky, roznásobíme

$$2x = \frac{3}{2}x + 7 500$$

5) Na obou stranách rovnice odečteme (3/4)x

$$\frac{x}{2} = 7 500$$

6) Vypočítáme pro 1x

x = 15 000

7) Dosadíme si x do skutečného platu Marie (vynásobíme)

x · 2 = 15 000 · 2 = 30 000

Výdělek každé z modelek činil tedy 30 000 Kč, dohromady si vydělaly 60 000 Kč.

Časová náročnost: 5 minut

Jedná se o příklad z podzimního maturitního testu 2018.

Článek Soustava rovnic – řešený příklad se nejdříve objevil na Studijni-svet.cz.

Otázka: Příklad na délku kružnice

Předmět: Matematika

Přidal(a): Studijni-svet.cz

Zadání příkladu:

Ruské kolo má 15 kabin a otáčí se kolem vodorovné osy. Dokola se otočí za 4 minuty a 16 sekund. Každá kabina se tak pohybuje rovnoměrně po kružnici a za každé 4 sekundy urazí dráhu 3 metry dlouhou.

Nad rozměry kabiny neuvažujte. Při výpočtech kabinu nahraďte jedním jejím bodem.

Vypočtěte (v metrech):

a) délku dráhy, kterou urazí jedna kabina při jednom otočení ruského kola (tedy za 4 minuty a 16 sekund)

b) velikost výškového rozdílu, který při otáčení ruského kola překoná jedna kabina od nejnižší možné polohy k nejvyšší možné poloze. Výsledek zaokrouhlete na celé metry.

Řešení:

Část (a)

1) Dosadíme čísla do trojčlenky:
4 s…….. 3 m
256 s….. x m
___________
$$\frac{x}{3} = \frac{256}{4} $$
x = 192 m

Za jedno otočení kabina urazí 192 m.

Část (b)

1) z předchozího výsledků víme obvod

1) o = 192 m

2) Vzoreček pro výpočet délky kružnice:

o = π · d

3) Dosadíme do vzorečku:

192 = π · d

4) Vypočítáme d:

d = 61 m

Průměr, tedy výškový rozdíl, je 61 m.

Časová náročnost: 6-7 minut

Jedná se o příklad z podzimního maturitního testu 2018.

Článek Délka kružnice – řešený příklad se nejdříve objevil na Studijni-svet.cz.

Otázka: Příklad na graf funkce

Předmět: Matematika

Přidal(a): Studijni-svet.cz

Zadání příkladu:

Určete souřadnice průsečíku grafu funkce f se souřadnicovou osou x:

$$P [ x_{p}; y_{p}]$$

$$f: y = 4 – 2\cdot log_{3} x$$

Řešení:

1) Za y si dosadíme 0, průsečík se souřadnou osou x má y-ovou souřadnici vždy rovnou nule, dosadíme do funkce

$$P_{x} [ x; 0]$$

$$0 = 4 – 2 log_{3} x$$

3) Na jedné straně si ponecháme log x a na druhou si přesuneme čísla
$$2 log_{3} x = 4$$

4) Vypočítáme pro 1 log
$$log_{3} x = 2$$

5) Vypočítáme (na kalkulačce)
$$x = 3^{2}$$

6) Umocníme x, aby nám nevycházel výsledek s mocnitelem
x = 9
$$P_{x} [9; 0]$$

Časová náročnost: 4-5 minut

Jedná se o příklad z podzimního maturitního testu 2018.

Článek Graf funkce – řešený příklad se nejdříve objevil na Studijni-svet.cz.

Otázka: Příklad na zlomky a rovnice

Předmět: Matematika

Přidal(a): Studijni-svet.cz

Zadání příkladu:

V oboru R řeště rovnici:

$$2\cdot 4^{x} = \sqrt{8}$$

Řešení:

1) V prvním kroku se zbavíme odmocniny
$$2\cdot 2^{2x} = 2^{\frac{3}{2}}$$

2) Sloučíme exponenty na levé straně
$$2^{1+2x} = 2^{\frac{3}{2}}$$

3) Na obou stranách se nám vyruší číslo 2
$$1 + 2x = \frac{3}{2}$$

4) Číslo jedna se nám přesune na pravou stranu, jinými slovy se jedná o 2/2, které musíme od 3/2 odečíst
$$2x = \frac{1}{2}$$

5) Přepočítáme na 1 x
$$x = \frac{1}{4}$$

Časová náročnost: 3-4 minuty

Jedná se o příklad z podzimního maturitního testu 2018.

Článek Zlomky a rovnice – řešený příklad (3) se nejdříve objevil na Studijni-svet.cz.