Otázka: Příklad na soustavy rovnic

Předmět: Matematika

Přidal(a): Studijni-svet.cz

Zadání příkladu:

Modelce Tereze bylo za práci přislíbeno o 5 000 Kč více než modelce Marii, nakonec si však obě vydělaly stejně. Přitom Tereza dostala o polovinu více, než ji slíbili a Marie získala dokonce dvojnásobek toho, co ji slíbili.

Využijte rovnice nebo soustavy rovnic k výpočtu, kolik Kč si vydělaly dohromady Tereza s Marií.

Řešení:

1) Původní výdělek modelek

Marie……. x
Tereza…… x + 5 000

2) Skutečný výdělek modelek

Marie……. 2x
Tereza…… (3/2)*(x+5 000)

3) Čísla s neznámými si dosadíme do rovnice

$$2x = \frac{3}{2} (x + 5 000)$$

4) Zbavíme se závorky, roznásobíme

$$2x = \frac{3}{2}x + 7 500$$

5) Na obou stranách rovnice odečteme (3/4)x

$$\frac{x}{2} = 7 500$$

6) Vypočítáme pro 1x

x = 15 000

7) Dosadíme si x do skutečného platu Marie (vynásobíme)

x · 2 = 15 000 · 2 = 30 000

Výdělek každé z modelek činil tedy 30 000 Kč, dohromady si vydělaly 60 000 Kč.

Časová náročnost: 5 minut

Jedná se o příklad z podzimního maturitního testu 2018.

Článek Soustava rovnic – řešený příklad se nejdříve objevil na Studijni-svet.cz.

Otázka: Příklad na zlomky a rovnice

Předmět: Matematika

Přidal(a): Studijni-svet.cz

Zadání příkladu:

V oboru R řeště rovnici:

$$2\cdot 4^{x} = \sqrt{8}$$

Řešení:

1) V prvním kroku se zbavíme odmocniny
$$2\cdot 2^{2x} = 2^{\frac{3}{2}}$$

2) Sloučíme exponenty na levé straně
$$2^{1+2x} = 2^{\frac{3}{2}}$$

3) Na obou stranách se nám vyruší číslo 2
$$1 + 2x = \frac{3}{2}$$

4) Číslo jedna se nám přesune na pravou stranu, jinými slovy se jedná o 2/2, které musíme od 3/2 odečíst
$$2x = \frac{1}{2}$$

5) Přepočítáme na 1 x
$$x = \frac{1}{4}$$

Časová náročnost: 3-4 minuty

Jedná se o příklad z podzimního maturitního testu 2018.

Článek Zlomky a rovnice – řešený příklad (3) se nejdříve objevil na Studijni-svet.cz.

Otázka: Příklad na zlomky a rovnice

Předmět: Matematika

Přidal(a): Studijni-svet.cz

Zadání příkladu:

Pro a ∈ R je dán výraz

$$\frac{a – a^{-1}}{a^{0}-a^{2}}$$

a) Zjednodušte výraz

b) Zjistěte, pro která reálná čísla a má výraz smysl

Řešení:

Zadání (a)

1) Nejprve upravíme na následující tvar

$$\frac{a  – \frac{1}{a}}{1-a^{2}}$$

2) Dále upravíme čitatele

$$\frac{\frac{a^{2}-1}{a}}{1-a^{2}}$$

3) Odebereme z čitatele zlomek

$$\frac{a^{2} – 1}{a (1 – a^{2})}$$

4) Zbavíme mocnitele roznásobením

$$\frac{(a – 1)(a + 1)}{a (1 – a)(1 + a)}$$

5) Nyní ze dvou závorek v čitateli i jmenovateli uděláme jen jednu

$$\frac{- (1 – a)}{a (1 – a)}$$

6) V posledním kroku upravíme zlomek tak, aby v něm nebyly závorky

$$-\frac{1}{a}$$

Zadání (b)

Výraz a má smysl pro a≠0; a≠1; a≠-1

Časová náročnost: 5 minut

Jedná se o příklad z podzimního maturitního testu 2018.

Článek Zlomky a rovnice – řešený příklad se nejdříve objevil na Studijni-svet.cz.

Otázka: Příklad na zlomky a rovnice

Předmět: Matematika

Přidal(a): Studijni-svet.cz

Zadání příkladu:

$$\frac{x + 10}{x}+\frac{100}{10x – x^{2}}=\frac{x + 20}{x – 10}$$

V oboru R řešte rovnici

Řešení:

1) U 2. zlomku ve jmenovateli vytkneme x, aby se nám s ním lépe pracovalo

$$\frac{x + 10}{x}+\frac{100}{x(10 – x)}=\frac{x + 20}{x – 10}$$

2) Ještě si u 2. zlomku vyměníme pozice čísla a neznámé

$$\frac{x + 10}{x}-\frac{100}{x(x – 10)}=\frac{x + 20}{x – 10}$$

3) Zbavíme se zlomků, společný jmenovatel je x(x-10);  ve zlomcích, kde nějaká část společného jmenovatele chybí, musíme chybějící částí ve jmenovateli vynásobit čitatele daného zlomku

$$(x + 10)(x – 10) – 100 = x(x + 20)$$

4) Nyní se roznásobením zbavíme závorek

$$x^{2} – 100 – 100 = x^{2} + 20x$$

5) Na jedné straně si necháme neznámé a na druhé čísla, x na druhou se nám anulují

$$- 200 = 20x$$

6) Přepočítáme na 1 x

$$x = -10$$

Časová náročnost: 5-6 minut

Jedná se o příklad z podzimního maturitního testu 2018.

Článek Zlomky a rovnice – řešený příklad se nejdříve objevil na Studijni-svet.cz.

Otázka: Rovnice a přiřazení intervalu řešení

Předmět: Matematika

Přidal(a): Studijni-svet.cz

Zadání příkladu:

Ke každé rovnici přiřaďte interval (A-E), v němž je obsaženo řešení rovnice, případně prázdná množina (F), pakliže rovnice nemá řešení. Rovnice jsou řešené v oboru R.

Rovnice k vyřešení:

$$1) 3^{2x}=9^{-x}$$

$$2) 2^{2x}\cdot 2^{-x}=\frac{1}{2}$$

$$3) log(x-2)=log(1-x)$$

$$4) 2\cdot logx=1$$

Intervaly pro přiřazení řešení rovnic:

A) (-∞; -1〉

B) (-1; 1〉

C) (1; 2〉

D) (2; 3〉

E) (3; +∞)

F) ø

Řešení:

Příklad 1

1) Rovnici upravíme

$$3^{2x}=9^{-x}$$

$$3^{2x}=3^{-2}x$$

2) 3 na obou stranách se nám vyruší

$$2x=-2x$$

3) Neznámé sečteme a číslo převedeme na druhou stranu, v tomto případě zde žádné není, tak tam bude 0

$$4x=0$$

4) Přepočítáme pro 1x, číslo se v tomto případě nezmění

$$x=0$$

Příklad 1 patří do intervalu (B), tj. (-1; 1〉

Příklad 2

1) Levou stranu roznásobíme, pravou převedeme do jiného tvaru

$$2^{2x}\cdot 2^{-x}=\frac{1}{2}$$

$$2x=2^{-1}$$

2) Přepočítáme pro 1x

$$x=-1$$

Příklad 2 patří do intervalu (A), tj. (-∞; -1〉

Příklad 3

1) Na obou stranách vyrušíme log

$$log(x-2)=log(1-x)$$

$$x-2=1-x$$

2) Neznámé převedeme na jednu stranu a čísla na druhou

$$2x=3$$

3) Přepočítáme pro 1x

$$x=1,5$$

Příklad 3 patří do intervalu (F), tj. ø

Příklad 4

1) Zbavíme se 2 na levé straně tak, že s ní vydělíme číslo na pravé straně

$$2\cdot logx=1$$

$$log(x)=-0,5$$

2) Vypočítáme x

$$x=\sqrt{10}$$

Příklad 4 patří do intervalu (E), tj. (3; +∞)

Časová náročnost: 7-9 minut

Jedná se o příklad z jarního maturitního testu 2018.

Článek Rovnice a přiřazení intervalu řešení – řešený příklad se nejdříve objevil na Studijni-svet.cz.

Otázka: Příklad na rovnice

Předmět: Matematika

Přidal(a): Studijni-svet.cz

Zadání příkladu:

Ověřte, která z těchto rovnic má v oboru R právě jedno řešení:

$$a) x^{2}+1=0$$

$$b) (x+1)^{2}=x^{2}+1$$

$$c) x^{2}-1=0$$

$$d) x^{2}=x$$

e) Žádná z výše uvedených rovnic

Řešení:

a) Rovnice nemá v oboru R právě jedno řešení.

1) Dosadíme do vzorečku pro diskriminant

$$D=b^{2}−4\cdot a\cdot c$$

$$D=0^{2}-4\cdot 1\cdot 1$$

2) Nyní vypočítáme diskriminant

$$D=-4⇒ø$$

b) Rovnice má v oboru R právě jedno řešení.

1) Rozepíšeme první závorku podle vzorečku

$$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$$

$$(x+1)^{2}=x^{2}+1$$

$$x^{2}+2x+1=x^{2}+1$$

2) Neznámé si ponecháme na jedné straně a čísla převedeme na druhou

$$2x=0$$

3) Vypočítáme pro 1x, výsledek se v tomto případě nezmění, rovnice má 1 řešení

$$x=0$$

c) Rovnice nemá v oboru R právě jedno řešení (má dvě řešení).

1) Na levé staně máme opět schovaný vzoreček, dáme jej do složeného stavu:

$$x^{2}-1=0$$

$$(x-1)(x+1)=0$$

2) Existují dvě řešení

$$x_{1}=1; x_{2}=-1$$

d) Rovnice nemá v oboru R právě jedno řešení (má dvě řešení).

1) Rovnici si upravíme, tak abychom mohli ověřit platnost:

$$x^{2}=x$$

$$x^{2}-x=0$$

2)

$$x(x-1)=0$$

3) Existují dvě řešení

$$x_{1}=0; x_{2}=1$$

e) Rovnice z příkladu b) má v oboru R právě jedno řešení.

Časová náročnost: 7 minut

Jedná se o příklad z jarního maturitního testu 2018.

Článek Rovnice (určení počtu řešení) – řešený příklad se nejdříve objevil na Studijni-svet.cz.

Otázka: Příklad na rovnice

Předmět: Matematika

Přidal(a): Studijni-svet.cz

Zadání příkladu:

$$\frac{2}{3}\cdot \frac{x-2}{4}\cdot x = 1 -\frac{x}{6}$$

Řešte v oboru R.

Řešení:

1) Nejprve vyřešíme roznásobení na levé straně:

$$\frac{2x(x-2)}{12} = 1 -\frac{x}{6}$$

2) Na levé straně se zbavíme 2 před závorkou, vykrátíme ji se jmenovatelem:

$$\frac{x(x-2)}{6} = 1 -\frac{x}{6}$$

3) Nyní se zbavíme zlomku, proto vynásobíme 6. Dále se zbavíme závorky na levé straně, tím, že ji roznásobíme:

$$x^{2}-2x=6-x$$

4) Pravou stanu (6 – x) převedeme na levou, tím se nám 2x poníží

$$x^{2}-x-6=0$$

5) Převedeme do tvaru, ze kterého je možné určit x1 a x2 ???

$$(x-3)(x+2)=0$$

$$x_{1}=3; x_{2}=-2$$

Časová náročnost: 5 minut

Jedná se o příklad z jarního maturitního testu 2018.

Článek Rovnice – řešený příklad se nejdříve objevil na Studijni-svet.cz.

Otázka: Příklad na zlomky a rovnice

Předmět: Matematika

Přidal(a): Studijni-svet.cz

Zadání příkladu:

$$\frac{2c + 12}{2-c} \cdot (6-c)$$

Určete všechny hodnoty c ∈ R pro které je hodnota výrazu rovna nule.

Řešení:

1) Zlomek přepíšeme na rovnici

$$\frac{2c + 12}{2-c} \cdot (6-c) = 0$$

2) Výraz je roven nule, pokud se čitatel rovná nule

$$(2c + 12)(6 – c) = 0$$

3) Vytkneme 2 v první závorce

$$2(c + 6)(6 – c) = 0$$

4) Dostáváme tvar pro snadné zjištění výsledku

$$(c + 6)(6 – c) = 0$$

$$c_{1} = -6; c_{2} = 6$$

6) Nesmíme zapomenout, že jmenovatel v původním zlomku se nesmí rovnat nule

$$c \neq 0$$

Tedy: $$c_{1} = -6; c_{2} = 6; c \neq 0$$

Časová náročnost: 3 minuty

Jedná se o příklad z podzimního maturitního testu 2018.

Článek Zlomky a rovnice – řešený příklad se nejdříve objevil na Studijni-svet.cz.