Téma: Historie Ludolfova čísla

Předmět: Matematika

Přidal(a): Henja

Ludolfovo číslo π

Číslo π je jednou z mála matematických konstant, se kterou se setkáváme již na základní škole. Hodnota tohoto čísla se na školách vyjadřuje jen na dvě desetinné číslice, a to 3,14. Desetinný rozvoj této konstanty je neperiodický, nekonečný a nelze jej vyjádřit podílem celých čísel, a proto se jedná o iracionální číslo.

Své jméno získala po holandském matematikovi Ludolphovi Van Ceulenovi, ten zasvětil velkou část svého života vyčíslením přesné hodnoty π (Beckmann, 1998).

1.    Prvotní zmínky

Člověk si během svého vývoje uvědomoval jednotlivé vztahy mezi určitými veličinami. Naučil se poznávat a pojmenovávat různé věci. Důkazem, že člověk určité předměty měřil či porovnával je například vroubkovaná hůl, jenž se nalezla ve Věstonicích na Moravě (Beckmann, 1998).

První doložená zmínka o konstantě π pochází okolo roku 2000 před naším letopočtem. Zřejmě již v této době si začali lidé uvědomovat význam této konstanty a dokázali určit její přibližnou hodnotu. Samozřejmostí je, že k tomuto dosažení si museli uvědomovat základní věci, jako je například počítání, osvojení pojmů velikosti, a také váhy. Museli si uvědomit, že mezi jednotlivými rozdíly jsou určité vztahy. Mezi tímto uvědomováním bylo také to, že čím je kruh napříč větší, tím větší je i dokola (Beckmann, 1998).

Postupnými úvahami lidé došli k tomu, že vztah mezi dvojicemi veličin je proporcionální (úměrný). Tohle uvědomění bylo docela blízko k určení konstanty π, kdy okolo a napříč jsou úměrné veličiny. Z toho vyplývá vztah: obvod dělený průměrem je roven konstantě pro všechny kruhy. Své označení řeckým písmenem, π, získal tento poměr až v 18. století (Beckmann, 1998).

2.    Nejstarší metoda výpočtu

Jak již bylo zmíněno, tak nejstarší zmínky o konstantě pochází okolo roku 2000 př. n. l., těmito mysliteli, jenž dokázali zjistit přibližnou hodnotu byli Egypťané a Babyloňané. V Egyptě určili hodnotu π jako čtyřikrát podíl čísel 8 a 9, jenž je umocněn na druhou. Babylonští myslitelé dospěli k závěru, že π je rovno podílu čísel 31 a 8. Tyto dva výpočty jsou velmi blízko k dnešní hodnotě, avšak není zcela známo, jak k těmto výsledkům dospěli. Lze předpokládat, že ke stanovení dané hodnoty využili kůly a provazy. Pomocí těchto dvou předmětů udělali do písku kruh tak, že jeden zapíchli do písku, na něm byl provaz a jeho konci druhý kůl, ten udělal kružnici. Následně vzali delší provaz, ten upevnili v libovolném bodě kružnice a vedli jej přes střed až na druhou stranu, udělali průměr. Poté průměr vkládali do rýhy kružnice, pomocí toho zjistili, že se průměr do obvodu vejde třikrát a kousek (Beckmann, 1998).

2.1.         Mezopotámie

Za největší důkaz pokročilosti matematiky v Mezopotámii, lze považovat nález hliněné destičky. Ta byla nalezena přibližně 200 mil od Babylonu v roce 1936. Na ni je věnovaná pozornost různým geometrickým útvarům. Z destičky lze vyčíst, že poměr obvodu pravidelného šestiúhelníku k délce opsané kružnice je ((57/60) + (36/60²)).  Dále uvádí vztah mezi pravidelným šestiúhelníkem a délkou opsané kružnice. Z této myšlenky vyjádřili, že 6r=C, kdy r je poloměr kružnice opsané šestiúhelníku a C je její délka (Bečvář, Bečvářová, Vymazalová, 2003)

Ze vztahu 6r = C, dostaneme: (6r/c) = 1; Odtud dokážeme dopočítat π, kdy

6r/c = 6r/2πr =3/π

3/π = 57/60 + 36/60²

π = 25/8 = 3,125

2.2.         Egypt

V Egyptě byl nalezen významný matematický dokument, jež nazýváme Rhidův papyrus nebo také Ahmesův papyrus. Byl sepsán okolo roku 1650 př. n. l. a nachází se na něm 84 úloh i s řešením. Po výpočet π je důležitá úloha číslo 50 (Bečvář, Bečvářová, Vymazalová, 2003).

Předpokládá se zde, že obsah plochy kruhu o průměru 9 jednotek je stejný jako obsah čtverce s délkou strany 8 jednotek. Z toho vyplývá, že: S = πr²; takže π(9/2)² = 8². Po úpravě a dopočítání se egyptská hodnota π rovná 3,16049 (Bečvář, Bečvářová, Vymazalová, 2003).

3.    Starověké Řecko (Archimédes)

Archimédes se narodil v Syrakusách okolo roku 287 př. n. l., je považován za významného matematika, mechanika a fyzika. Archimédes hledal obecné principy, které poté aplikoval na konkrétní problémy (Bečvář, Štoll 2005).

Tento významný matematik přišel na metodu výpočtu π s libovolnou přesností. Tato metoda je založena na tom že, obvod pravidelného mnohoúhelníku vepsaného do kružnice je menší než obvod této kružnice a zároveň je obvod této kružnice je menší než obvod mnohoúhelníku, do něhož je vepsána. „Zavedeme-li n dosti velké, budou se oba obvody mnohoúhelníků blížit obvodu kruhu s libovolnou přesností, jeden zdola, druhý shora. Archimedes začal od šestiúhelníku a pokračoval tak, že zdvojoval počet stran, až dospěl k mnohoúhelníku s 96 stranami.“ Archimédes dospěl k tomuto:

3(10/71) < π < 3 1/7; v desetinném záznamu 3,14084 < π <3,142858

(Beckmann,1998)

4.    Novověká matematika

Období renesance je s vývojem π spojeno hlavně s určením přesnější numerické hodnoty této konstanty. Teorie byla v podstatě založena na Archimedových mnohoúhelnících.

4.1.         Francois Viéte

Významný francouzský matematik žijící v letech 1540-1603. Narodil se do rodiny právníků, a také on vystudoval na univerzitě v Poitiers právo. V matematické terminologii zavedl nová slova, jako například negativní či koeficient. V algebře, aritmetice, trigonometrii i geometrii dosáhl důležitých výsledků (O’Connor, Robertson, 2019).

Francois Viéte se řadí mezi poslední matematiky, jež jsou ovlivněni Archimédovou metodou výpočtu π pomocí mnohoúhelníků. Na rozdíl do Archiméda začal svůj postup od čtverce. Viéte porovnával obsahy ploch mnohoúhelníků s n stranami a s 2n stranami (Beckmann, 1998).

Pomocí výpočtů a dosazení dosáhl Viéte následujícího vzorce pro výpočet hodnoty π.

Tento výraz byl v roce 1593 publikován. Pro vyčíslení konstanty π jej Viéte nepoužil. Pro určení π na 9 desetinných míst využil Archimedovu metodu s mnohoúhelníkem o 393 216 stranách. Závěr tohoto počítání byl, že π je mezi 3,1415926535 a 3,1415926537 (Beckamnn, 1998).

4.2.         Ludolph Van Ceulen

Holandský matematik narozený v Hildesheimu (Německo), 28. 1. 1540. Do Holandska emigroval kvůli katolického útlaku. Pocházel z chudých poměrům, z toho důvodu měl pouze základní vzdělání, ale zřejmě se jednalo o velmi talentovaného matematika (O’Connor, Robertson, 2019).

Převážnou část svého života se věnoval počítání hodnoty čísla π. Využíval výhradně Archimedovu metodu mnohoúhelníků. Ve svém článku Van den Circkel (O kruhu), z roku 1596, informoval, že vypočítal číslo π s přesností na 20 desetinných míst. De Aritmertische en geometrische fondamenten, bylo jeho další dílo, jež vydala jeho žena po smrti Van Ceulena v roce 1615, kde udává π s přesností na 32 míst. Němce natolik zaujala jeho snaha vyčíslit π, že tuto konstantu nazývali po něm, Ludolfovo číslo (Beckmann, 1998).

4.3.         John Wallis

Anglický matematik, jenž uveřejnil své dílo Arithmetica infinitorum v roce 1655, kde vyjádřil hodnotu π jako nekonečný součin. Byl prvním matematikem, jehož nekonečná řada obsahovala pouze racionální čísla. Wallisův vzorec,

π = 2 (2*2*4*4*6*6*…)/(1*3*3*5*5*7*…)

je velkým mezníkem v historii konstanty π (Fuchs, 2001).

4.4.         James Gregory

Matematik a astronom pocházející ze Skotska, studoval na univerzitě v Aberdeenu a poté v Itálii. V díle Vera circuli et hyperbolae quadratura (Správná kvadratura kruhu a hyperboly) pojednával o rozdílu mezi algebraickými a transcendentálními funkcemi. V uvedeném textu se také pokusil o důkaz, že π je transcendentní (O’Connor, Robertson, 2019).

Objevení řady pro arkustangens x, bylo důležitým milníkem pro historický vývoj π. Gregory zjistil, že obsah plochy pod křivkou 1/(1+x²)  v intervalu (0; x) je arctg x. Následně zdlouhavým procesem dělení integrantu našel řadu:

arctg x = x – (x³/3) + (x⁵/5) – (x⁷/7)+⋯,

Poté položil x=1, jelikož arctg (1) je rovno π/4 , z toho poté:

π = 4(1-(1/3)+(1/5)-(1/7)+⋯)

Tato řada je první nekonečnou řadou pro vyjádření konstanty π. Gregoryho řada nebývá využívána v numerických výpočtech kvůli příliš pomalé konvergenci (Kvasz, 1994).

4.5.         Isaac Newton

Nejuznávanější vědec všech dob pochází z Anglie, byl matematikem, astronomem, fyzikem, teologem a filozofem. Philosophiae Naturalis Principia Mathematica jeho dílo publikované v roce 1687, zde0 položil základy mechaniky. V matematice patří mezi první objevitele integrálního a diferenciálního počtu (Ackroyd, 2010).

Při výpočtu čísla π, uvažoval kružnici, y=√(x-x²), poloměr kružnice 1/2. Pomocí dalších výpočtů dospěl Newton k vyjádření konstanty následovně:

Tento způsob výpočtu zajistil 16 desetinných míst s 22 členy. Oproti Archimédovy metody je to daleko jednodušší a snazší (Beckmann, 1998).

4.6.         John Machin

Londýnský profesor astronomie. Machin je známý především zrychlením konvergence Gregoryho řady a zjednodušením výpočtu. Díky tomuto usnadnění, kdy druhá řada konverguje velice rychle dokázal vypočítat v roce 1706 π na 100 míst (Beckmann, 1998).

4.7.         Leonhard Euler

Největší matematik všech dob. Pochází ze Švýcarska, kde se narodil roku 1707. Od útlého dětství vynikal v matematice, čehož si všimnul Johann Bernoulli, ten jej začal soukromě doučovat (Fuchs, 2001).

Pro výpočet π uvedl několik možných výrazů, ty byly vyjádřeny pomocí nekonečných součinů a řetězových zlomků. Využil tzv. trik od Machina a odvodil několik vzorců. Eulerovi se však podařilo najít řadu, jež konverguje rychleji než všechny ostatní:

O jeho dokonalosti ve výpočtu hodnoty π dokazuje fakt, že nikdo jiný v historii neobjevil lepší způsob výpočtu. Dá se říct, že tímto ukončil historii numerického výpočtu (Beckmann, 1998).

5.    Za dob počítačů

Nástup počítačů dal počítání desetinných čísel konstanty π zcela jiný ráz. V 18. a 19. století počítali vědci s desítkami maximálně stovkami číslic, kdežto počítačoví programátoři dokážou pomocí počítačů vypočítat na tisíce či dokonce sta tisíce míst.

V roce 1949 byl proveden první výpočet konstanty π, a to díky ENIAC (Elektonic Numerical Integrator and Copmuter). Výpočet trval 70 hodin a byl určen na 2 037 desetinných míst. Výpočet byl založen na základě Machinova vzorce.

Postupem času se výpočty zrychlovaly a zdokonalovaly. Počítač NORC (Naval Ordnance Research Calculator) v roce 1954 a poté 1955 byl naprogramován pro výpočet na 3 089 míst. Tento výpočet trval pouhých 13 minut. Rekord byl překonán roku 1957 v Londýně, kdy počítač Pegasus vypočítal za 33 hodin π s 10 021 místy. Červenec roku 1958 byl pro výpočet π úspěšný. Během hodiny a čtyřiceti minut dokázal počítač IBM 704 vypočítat 10 000 desetinných míst. Výpočet vycházel z Machinovy a Gregoryho řady. Počítač IBM 7090 v roce 1961, za pomocí Machinova vzorce, vypočítat s přesností na 20 000 míst za 39 minut. První půl milion desetinných míst dokázal v roce 1967 počítač CDC 6600. Jak lze postřehnout neustálým vylepšováním dochází k vyčíslení konstanty π na mnohem více desetinných míst (Beckmann, 1998).

Článek Historie Ludolfova čísla se nejdříve objevil na Studijni-svet.cz.

Téma: Základní poznatky z matematiky

Předmět: Matematika

Přidal(a): veru

Obsah 

• a) Výroková logika
• b) Množiny a jejich operace
• c) Číselné obory
• d) Dělitelnost

a) Výroková logika

Výrok = každá oznamovací věta, u které můžeme určit, jestli je pravdivá (1) nebo nepravdivá (0)

Hypotéza (domněnka) = tvrzení, o kterém v daném okamžiku nejsme schopni říct, zda je pravdivé nebo nepravdivé

Dělení výroků

• Existenční – ANO/NE
• Kvantifikační – počet

Každý je – alespoň jeden není

Alespoň 1 je – žádný není

Alespoň n je – méně než n je

Nejvýše n je – alespoň (n+1) je

Nejvýše n je – více než n je

Logické spojky

• KONJUNKCE – A ∧ B – a zároveň
• DISJUNKCE – A V B – nebo
• IMPLIKACE – A⇒B – jestliže, pak (A-předpoklad, B-závěr)
• EKVIVALENCE – A↔B – právě tehdy když

Spojení výroků = složené výroky = výrokové formule

Tautologie = pokud je výroková formule pravdivá vždy

b) Množiny a jejich operace

Množina = soubor prvků, které tvoří celek

Druhy – konečná, nekonečná, prázdná ∅

Intervaly jsou také množiny

Operace

• Rovnost – A=B
• Podmnožina – A C B
• Sjednocení – A U B
• Průnik – A ∩ B
• Rozdíl – A – B
• Doplněk k množině A v množině B – A’B

Říkáme, že množina A je disjunktní s množinou B , právě když mají množiny A a B prázdný průnik, tj. nemají žádný společný prvek.

c) Číselné obory

• N – přirozená čísla {1, 2, 3, 4,…}
• N0 – nezáporná celá čísla {0, 1, 2, 3, …}
• Z – celá čísla {…,-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, …}
• Q – racionální čísla + zlomky (jmenovatel ∈ N) – desetinná č., periodická č.
• R – reálná čísla
• C – komplexní čísla – R + imaginární čísla

Iracionální čísla – čísla s neukončeným desetinným rozvojem – př. π

Uzavřenost oboru

• výsledkem početní operace mezi dvěma libovolnými prvky z příslušné množiny je číslo, které také patří do této množiny
• N – sčítání a násobení
• Z – sčítání, násobení a odčítání
• Q – sčítání, odčítání, násobení a dělení nenulovým číslem
• R – sčítání, odčítání, násobení a dělení nenulovým číslem

Věta o asociativnosti

• Sčítance při součtu a činitele při násobení můžeme volně sdružovat (nezáleží na pořadí závorek)

Věta o komutativnosti

• Pořadí sčítanců při sčítání a činitelů při násobení můžeme měnit beze změny na výsledku
• a + b = b + a
• a x b = b x a

Věta o neutrálnosti

• 1 je vzhledem k násobení/dělení neutrální
• 0 je vzhledem ke sčítání (neplatí v N) a odčítání neutrální

Věta o distributivnosti násobení vhledem ke sčítání

• Násobíme-li číslem součet dvou nebo více čísel, vynásobíme tímto číslem každého sčítance
• (a+b) x c = a x c + b x c

d) Dělitelnost

Znaky dělitelnosti:

Prvočíslo = číslo dělitelné beze zbytku jen sebou samým a 1

Nejmenší společný násobek:

• Prvočíselný rozklad
• Vypíšeme nejvyšší počet jednotlivých prvočísel z rozkladů

Největší společný dělitel

• Prvočíselný rozklad
• Vypíšeme prvočísla, která se vyskytují v obou rozkladech (tvoří dvojice)

Článek Základní poznatky z matematiky se nejdříve objevil na Studijni-svet.cz.

Otázka: Intervaly

Předmět: Matematika

Přidal(a): Studijni-svet.cz

Na intervaly v matematice narážíme každou chvíli, především v nejrůznějších definicích. Jedná se o množinu bodů, které jsou ohraničeny dvěma krajními body. Jednoduše se tedy může jednat například o čísla od 18 do 69.

Pokud se na interval zaměříme blíže, může nás zajímat plno otázek. Patří do množiny i 18 nebo jen vyšší čísla? Jedná se pouze o celá čísla nebo například i 18,5? Na tyto a další otázky odpovídá samotný zápis.

Zápis intervalu

Otevřené a uzavřené intervaly

Článek Intervaly se nejdříve objevil na Studijni-svet.cz.

Téma: Běžné metody zobrazení v architektuře

Předmět: Deskriptivní geometrie

Přidal(a): Dominik H.

Obsah

1. Mongeovo promítání

• Vysvětlení, použití Mongeova promítání

2. Axonometrie

• Isometrie
• Dimetrie
• Trimetrie

3. Jednoúběžníková perspektiva

• Vysvětlení, výhody a nevýhody použití jednoúběžníkové perspektivy

4. Dvouúběžníková perspektiva

• Vysvětlení, použití dvouúběžníkové perspektivy

5. Tříúběžníková perspektiva

• Použití, možnosti konstrukce, výhody a nevýhody
  • Průsečná metoda
  • Volná metoda

Úvod:

Touto prací bych rád probral jednotlivé, nejčastěji používané metody zobrazení, které je vhodné použít při zpracování architektonických návrhů, nebo interiérových designů. Vysvětlit jejich výhody, nebo naopak nevýhody. Pojďme se jen rychle ujasnit některé pojmy, které budu používat v této práci. Půdorys je čistý pohled z vertikální osy, a tudíž vidíme jen vrchní obrys všech těles. Nárysem je myšlen pohled, kdy pozorovatel stojí na vodorovné ose a zobrazované těleso je čelem k pozorovateli. Bokorys je poté dosti podobný nárysu, ale pozorovatel stojí přímo ze strany tělesa a pozoruje jeho boční obrysy. Literatura popisující základy těchto promítání je například „Konstruktivní geometrie“ od Jaroslava Černého.

1. Mongeovo promítání

Mongeovo promítání je první a v celku nejzákladnější metodou, kterou stojí za to zde zmínit. Vhodné použití je například pro jednoduchý návrh místnosti, nebo objektu umístěného v prostoru. Na jednom výkresu tak máme nejen půdorys, ale i nárys a popřípadě i bokorys. Mongeovo promítání je z jednotlivých metod popsaných v této práci nejjednodušší na konstrukci, protože přímo nezobrazuje perspektivu tak, jak je na to člověk zvyklý z běžného života. Tím se dostáváme k nevýhodám. Tou hlavní nevýhodou je, že pro většinu lidí je poněkud složité si takto zobrazené těleso představit, jak je umístěno v prostoru, nebo jak je natočeno.

Obrázek 1 je názornou ukázkou Mongeova promítání. Jde o nákres jednoduché místnosti s několika skříněmi a párem polic. Podle mne skvěle znázorňuje mnou nastíněný problém s nedostatkem představivosti většiny lidí. Pod osou x_1,2 se nachází půdorys místnosti, kde je možno vidět, jak jsou jednotlivé skříně a police situované v prostoru vůči stěnám a navzájem mezi sebou. Avšak u police a skříňky v pravé horní části půdorysu není zcela jasné, jak je to s nimi myšleno. Od toho nám slouží nárys. V Mongeově promítání je nárysem vše, co se nachází nad osou x_1,2 viz obrázek 1.

Až nyní víme, jak je který objekt vysoký, zdali leží na zemi, nebo je přichycen ke zdi. Vyřešil se i předcházející problém poličky a skříňky. Teď již víme, že polička je nad skříňkou a jak vysoko.

Na obrázku 2 vidíme konstrukci Mongeova promítání i s bokorysem.

2. Axonometrie

Axonometrie vyobrazuje tělesa při volném pohledu do rohu. Proto se nejčastěji používá při bytové architektuře. Tuto metodu promítání využívá i mnoho počítačových programů, které se používají nejen v architektuře, ale i v herním průmyslu. Pomocí axonometrie jsou také vytvářeny například manuály k nábytku, nebo všemi velmi oblíbené stavebnici Lego. V axonometrii jsou hrany zobrazovaných objektů rovnoběžné se souřadnými osami, tudíž nedochází ke zkreslení kvůli velikosti tělesa, jako například u úběžníkových perspektiv. Nevýhodou zůstává fakt, že ve velkém množství případů použití axonometrie má každá osa svůj poměr krácení. Na některých zobrazeních tedy může být složité si představit reálné rozměry tělesa. Axonomertie se dá rozdělit na několik druhů.

Obrázek 3 – Použití axonometrie u manuálů ve stavebnici Lego

2.1. Isometrie

Isometrie by se dala označit za nejjednodušší druh axonometrie, co se konstrukce týče. Osy mezi sebou svírají 120⁰ a poměr krácení je 1 : 1 : 1. Délky ve směrech rovnoběžných se souřadnými osami se tudíž vynášejí nezkráceně.

Obrázek 4

Je tedy patrné, že čtverce se promítnou na kosočtverce a kružnice na elipsy (viz obrázek 4). Získáváme tedy pohled z osy prostoru.

2.2. Dimetrie

Dosti podobné isometrii, ale u dimetrie je úhel mezi osami „x“ a „y“ větší než 120⁰ (φ). Zbylé dva úhly jsou stejné (ω, ψ). Dále se již uplatňuje poměr krácení 1 : 0,5 : 1 (x : y : z). Takto jednoduše nastavená dimetrie se nazývá „technická dimetrie.“ Používá se, pouze, pokud je daný pohled na promítané těleso významný pro danou dokumentaci.

Obrázek 5 – Dutý válec v dimetrii

2.3. Trimetrie

U trimetrie má každá z os vlastní poměr krácení, který záleží jen na autorovi. Úhly mezi osami jsou také každý jiný. To znamená, že pomocí trimetrie jsme schopni získat obrovské množství pohledů na objekt, který se snažíme zobrazit, která nám ostatní axonometrická zobrazení neumožňují.

Obrázek 6 – Trimetrický pohled na stupňovité válce

3. Jednoúběžníková perspektiva

Podle mého názoru se jedná o perspektivu produkující jedny z nejhezčích výkresů. Jednoúběžníková perspektiva je nejlepší nástroj na znázornění pohledu do místnosti proti zdi. Použít ji však lze i pro zobrazení průčelí objektu. Z toho také vyplívá její druhý název „průčelná“ perspektiva. Důležité je, kam si nastavíme horizont (h) a na něm ležící úběžník (H). Tím se rozhodne, na která tělesa pohlížíme z nadhledu, či naopak z podhledu. K tomuto úběžníku poté směřují všechny hrany, které jsou rovnoběžné se směrem pohledu. To způsobuje zúžení, nebo zmenšení objektů v závislosti na jeho velikosti a vzdálenosti. Zbylé vodorovné a horizontální hrany zůstávají rovnoběžné s osami perspektivy.

Obrázek 7 – Pohled do místnosti za pomoci jednoúběžníkové perspektivy

Jednoúběžníková perspektiva není vhodná na vše. Vzhledem k tomu, že na prostor nahlížíme pouze z čelní strany, neboli znázorňujeme pouze hloubku, může v případě zobrazování velkých těles docházet k překrytí menších, v prostoru vzdálenějších těles. Poté se tato tělesa naprosto vytratí, zatím co například Mongeovo promítání tyto tělesa zdůrazní v půdorysu, popřípadě v bokorysu.

Obrázek 8 – Jednoúběžníková šachovnice

Pro snazší představu zkreslení spolu se vzdáleností je vhodná obyčejná čtvercová síť. Na té je velmi dobře vidět, jak se čtverce zkracují a zužují spolu s rostoucí vzdáleností od pozorovatele.

4. Dvouúběžníková perspektiva

U dvouúběžníkové perspektivy je podobně, jako u jednoúběžníkové perspektivy důležitý první krok. Tím je vhodné umístění horizontu, který opět nastaví podhled a nadhled. Dvouúběžníková perspektiva je velmi běžné zobrazení, které je dobře patrné prakticky na každé fotografii či obrázku, kde k nám stojí nějaký předmět nebo budova rohem. Díky tomu dostala časté označení „nárožní“ perspektiva. Této perspektivy hojně využívají počítačové programy pro architekty, protože výkresy sestrojené pomocí dvouúběžníkové perspektivy se nejvíce podobají tomu, co vidíme každý den cestou do školy, z práce, nebo při jakékoliv venkovní aktivitě. Veškeré svislé hrany zůstávají rovnoběžné, zatímco ty vodorovné míří směrem k úběžníkům. Jeden z úběžníků znázorňuje hloubku, zatímco druhý šířku.

Obrázek 9 – Dvouúběžníková perspektiva v programu pro architekty SketschUp

5. Tříúběžníková perspektiva

Vůči všem předchozím úběžníkovým perspektivám nejreálněji zobrazuje pohled na budovy. Ať je to na první pohled patrné, nebo ne, každý pohled na vyšší dům má i svůj třetí úběžník, který znázorňuje výšku. Zde už tedy žádné linie obrazu nebudou rovnoběžné. Tato perspektiva se tedy užívá jen ve zvláštních případech, jako je zobrazování výškových budov, nebo velmi rozsáhlých objektů. V případě, že se na objekt díváme z podhledu, třetí úběžník se nachází nad horizontem a získáváme tak takzvanou „žabí“ perspektivu. Jeli tomu však naopak a koukáme na objekt z nadhledu, třetí úběžník je posunut pod horizont a získali jsme takzvanou „ptačí“ perspektivu. Máme dvě možnosti, jak tříúběžníkovou perspektivu vytvořit. „Průsečnou“ a „Volnou“ metodu.

5.1. Průsečná metoda

Průsečná metoda je v celku složitá na pochopení a konstrukci. Zato však poskytuje vyšší přesnost, než metoda volná. Kvůli náročnosti konstrukce se často pro tuto metodu využívá grafický software, namísto ručního zpracování. Protože se toto téma na středních školách nevyučuje, pojďme si jen v rychlosti zkusit průsečnou metodu.

Nejprve sestrojíme Mongeovo promítání zobrazovaného tělesa. Poté si zvolíme bod, směr a úhel náhledu na těleso.

Nyní sestrojíme bod H na horizontu h, bod U_sp. Dále pak základnici (modrá přímka v půdorysu).

V dalším kroce sestrojíme úběžník svislic U₃, bod S₀, který použijeme jako distančník a finálně dělící bod D

Od této chvíle je výhodné si rys otočit o -90⁰. Máme úběžník, můžeme se tedy pustit do získávání bodů podstavy. Z bodu F spustíme kolmici na červenou horizontálu. Na průniku základnice a táto přímky vznikl bod D₁. Ten spojíme s hlavním hodem U_ps. Posledním krokem je spojit původní bod F s distančníkem S₀. Na průniku D₁U_ps a S₀F nám vznik první bod podstavy F₁. Tento postup opakujeme pro zbylé body podstavy.

Pro získání bodů horní podstavy jsou na řadě body horní podstavy. Z bodu D vedeme přímku přes bod podstavy (F₁). Tam, kde nám protne kolmici z předchozího kroku vznikne bod M. Nyní naneseme na této kolmici výšku bodu, kterou jsme si stanovili na začátku v Mongeově promítání. Takto jsme dostali bod N₁. N₁ spojíme s bodem D. Bod podstavy F₁ spojíme s úběžníkem U₃. Na průniku U₃F₁ a N₁D se nachází námi hledaný bod horní podstavy. V tomto případě O₁. Postup poté opakujeme pro zbylé body.

Po dodělání všech bodů a jejich spojení jsme dostali pěknou „žabí“ perspektivu a finální pohled na kvádr.

• Volná metoda

Jak jsem již zmínil, volná metoda je na konstrukci velmi jednoduchá, tedy alespoň oproti metodě průsečné. Jde v podstatě o běžnou konstrukci douúběžníkové perspektivy, až na to, že svislé hrany už nejsou rovnoběžné, ale zbíhají se ve třetím úběžníku. Níže popisuji jak na konstrukci.

Všechny tři úběžníky si volíme libovolně. Hlavní bod H najdeme na průsečíku výšek. Bod S je průsečíkem svislice v G a Thaletovy kružnice pod body A a B. Bod S’ je průsečíkem Thaletovy kružnice nad svislicí z G a horizontály procházející hlavním bodem H. Bod D leží na svislici z G ve stejné vzdálenosti od G, jako bod S’.

Nyní máme všechny základní potřebné body a můžeme narýsovat podstavu stejným způsobem, jako u dvouúběžníkové perspektivy. Výšku získáme nanesením hodnoty svisle k jednomu z bodů. Z vrcholu takto vzniklé úsečky vedeme přímku přes bod D. Další přímku sestrojíme z úběžníku G přes bod v podstavě úsečky. Na místě průniku našich dvou nových přímek vznikl bod, který hledáme. Tento postup opakujeme pro zbytek bodů.

Obrázek 18 – Výsledný dutý hranol ve volné tříúběžníkové perspektivě

Závěr:

Ukázali jsme si všechny běžné metody zobrazování a perspektivy, které je možné použít při vytváření architektonických návrhů. Ať už ty, které vídáme každý den, nebo takové, které většina lidí nikdy nepoužije. U těch nejsložitějších jsme nastínili postup konstrukce a ve finále dosáhli správných výsledků. Důležité je při výtvoru takovýchto rysů zůstat koncentrován a postupovat raději pomaleji, než někde udělat chybu.

Zdroje:

• RNDr. Jaroslav Černý, CSc., doc. RNDr. Milada Kočandrlová, CSc. (1998): Konstruktivní geometrie, Vydavatelství ČVUT, Praha 6, Thákurova 1
• https://www.vyukakresby.com/single-post/2016/04/25/Perspektiva-se-3-úběžníky
• http://marian.fsik.cvut.cz/~kongo/download/skripta/axonometrie.pdf
• http://www.machu.euweb.cz/g-boucek.pdf
• https://www.vyukakresby.com/single-post/2016/04/19/Perspektiva-se-2-úběžníky
• https://cs.wikipedia.org/wiki/Axonometrie
• https://app.sketchup.com/app
• Všechny vložené obrázky, až na obrázek 3. jsou autorské
• Obrázek 3. – V manuálu lega „Market street“ str.: 61; dostupné na:
• https://www.lego.com/cs-cz/service/buildinginstructions/search#?theme=10000-20088

Článek Běžné metody zobrazení v architektuře se nejdříve objevil na Studijni-svet.cz.

Otázka: Funkce v Excelu – využití v úlohách se zaměřením na matematiku

Předmět: Informační a komunikační technologie

Přidal(a): Petr Kuděj

PŘEDMATURITNÍ ROČNÍKOVÁ PRÁCE

Funkce v Excelu – využití v praktických úlohách se zaměřením na středoškolskou matematiku

ANOTACE

Obsahem této práce je využití funkcí v programu Microsoft Excel ve středoškolské matematice. V práci jsou uvedeny jak jednodušší, základní funkce, tak i pokročilé příklady tvorby grafů, či použití doplňku Řešitel. Jsou zde uvedeny možné problémy při používání funkcí programu Microsoft Excel. Práce vychází z učiva matematiky na středních školách a vyšších stupních gymnázií. Výsledkem je zhodnocení používání tohoto programu v matematice a také sbírka úloh na procvičení těchto funkcí v praxi.

Klíčová slova: Excel, funkce, matematika, grafy, Řešitel, problémy, využití

ANNOTATION

This work deals with the use of functions in Microsoft Excel in high school mathematics. There are easy and basic functions in this work, just like hard and complicated ones, for example in creating graphs or use of Solver add-on. There are also listed problems of using functions in Microsoft Excel. This work is based on the mathematics curriculum on high schools. The result of this work is an evaluation of using Microsoft Excel in mathematics and also a collection of practical exercises of these functions.

Keywords: Excel, functions, mathematic, graphs, Solver, problems, usage

Obsah

• Úvod
• Struktura práce
  • Základní matematické funkce v Excelu
  • Goniometrické funkce
• Funkce sinus
• Funkce kosinus
• Funkce tangens
• Funkce kotangens
• Grafy goniometrických funkcí
  • Kvadratická funkce
  • Funkce s absolutní hodnotou
  • Řešitel

• O doplňku Řešitel
• Použití Řešitele
• Přidání doplňku do Excelu
• Řešení matematických problémů
  • Problémy při využívání těchto funkcí
• Diskuze
• Závěr

Úvod

Práce je zaměřena na program Microsoft Excel, především na jeho funkce a jejich využití ve středoškolské matematice. Práci jsem si vybral na základě mých znalostí tohoto programu a jeho funkcí a se zájmem o osobní rozvoj v tomto směru. Poukazuje na rozmanité využití tohoto programu. V praktických úlohách a názorných ukázkách tato práce vysvětlí některé z mnoha funkcí, které program Microsoft Excel nabízí a objasní možnosti jejich použití v praxi nebo při vyučování.

Při tvorbě této práce byla využita nejnovější verze programu, a to Microsoft Excel 2016 v českém jazyce. Některé funkce nesou jiný název v anglické modifikaci. Většina funkcí je obsáhlá i v předchozích verzích, ovšem nelze zaručit, že budou fungovat i v novějších verzích tohoto programu.

Práce se především kromě jiného zaměřuje na matematické funkce. V tomto případě není myšleno slovní příkaz v Excelu, nýbrž látku, která se probírá na středních školách. Do této kapitoly spadají například goniometrické funkce, kvadratické funkce, či funkce s absolutní hodnotou. Kromě toho je zde popsán i doplněk Řešitel. Práce obsahuje také nedostatky a chyby těchto funkcí

Cílem je ukázat možnosti využívání programu Microsoft Excel ve školách při vyučování a možnosti praktického využívání funkcí, dále pak seznámit začínající uživatele programu o jeho možnostech. Práce počítá se základní znalostí Excelu, například práci s buňkami, orientaci v kartách apod. a se základní znalostí terminologie.

Struktura práce

Hlavním zdrojem při vytváření práce byly mé vlastní zkušenosti, které jsem získal převážně už v předchozích letech od mého otce, Ing. Milana Kuděje. Delší dobu jsem pozoroval široké možnosti využití Excelu, a proto jsem se rozhodl shrnout tyto možnosti do této práce.

Informace získané od něj jsem dále rozšířil o publikaci Microsoft Excel 2013: podrobná uživatelská příručka od Jiřího Barilly, Květuše Sýkorové a Pavla Simra [1]. V této příručce jsem se začal zajímat kromě jiného o funkce a jejich využití. V tomto ohledu už byl zběhlý můj starší bratr Lukáš Zeman, který mě kromě veškeré práce se softwarem i hardwarem naučil používání funkcí v Excelu.

Dalším hlavním zdrojem, který jsem použil hojně, byla podpora Microsoft. Ne vždy jsem nalezl to, co jsem potřeboval v české verzi této nápovědy, proto jsem musel hledat i v cizojazyčné podpoře, případně na různých fórech. Přesto na některé mé otázky jsem nenalézal odpověď, proto jsem ji zkoušel nalézt sám procházením různých možností programu.

Internet mi byl velmi důležitým zdrojem pro hledání informací, a kromě nápovědy od společnosti Microsoft, která tento program vytvořila, jsem často využíval osobní stránku Pavla Lasáka s názvem Jak na Excel [4]. Je zde popsána téměř každá funkce, včetně ukázky použití.

Látku, kterou rozebírám této práci velmi podrobně, tedy matematické funkce, jsem vybral z důvodu, že jsme tuto problematiku na vyšším stupni gymnázia probírali. Vybíral jsem tedy podle učiva na naší škole převážně v kvintě a sextě.

Při čtení práce se čtenář nejdříve dozví, jak pracovat se základními funkcemi, později pokročilými a jak tyto funkce využívat a kombinovat, dále přiblížím tvorbu grafů pro matematické funkce, část práce je také věnována doplňku Řešitel a na závěr představím problémy s těmito funkcemi a zhodnocení využití programu Microsoft Excel v praxi.

1. Základní matematické funkce v Excelu

Nejprve je důležité znát základní funkce a práci s nimi, popis funkce a k čemu tyto funkce v Excelu slouží. Funkce se dá jednoduše popsat jako automat na kávu, do kterého se vloží peníze, to představuje určitý vstup a výsledkem a výstupem je káva. [2] Takto funguje funkce. Je potřeba zadat vstup a funkce počáteční hodnotu pozmění podle daného vzorce. Každá funkce musí mít za sebou napsané závorky. Do těch se píší parametry funkcí a hodnoty se kterými má funkce pracovat. Závorky je nutné napsat i v případě, když funkce nemá žádné parametry.

V Excelu je možný zápis dvou typů obsahu buňky. Buď je možné zadat text, který se zobrazí tak, jak je zapsán, či vzorec, který se po potvrzení zobrazí jako výsledek daného vzorce. Rozdíl v zápisu spočívá v tom, že při psaní vzorce je nutné napsat před text znaménko =. Vzorcem může být například sčítání, odčítání atd. Stejně se zapisují i funkce (nejen matematické), které jsou také typem vzorce.

Například pro sčítání 2 čísel stačí napsat do buňky: „=a+b“, kdy písmena značí buď určité číslo, nebo odkaz na buňku s číslem. Odkaz se zapíše formou souřadnic. Každý sloupec má své písmeno a každý řádek své číslo. Tohoto se používá například v případě, kdy se vstupní hodnoty mění.

Mezi základní matematické funkce v Excelu patří bezesporu funkce SUMA() [4], která sečte všechny vstupy, které lze buď oddělit v závorce za funkcí středníkem, nebo pokud je hodnot více, je možné vybrat oblast, ve které funkce SUMA() sečte všechny hodnoty. Oblast se označí jako „A1:A4“. V tomto případě jsou vybrány buňky A1, A2, A3, A4. V kombinaci s touto funkcí vypadá vzorec například takto: „=SUMA(A2;B2)“. V tomto případě se zobrazí součet buněk A2 a B2 (viz Obr.1). Nebo takto: „=SUMA(A2:A4)“, kdy se zobrazí díky pomlčce součet buněk A2, A3 a A4.

Další základní funkcí je například funkce GDC(), která vrátí největší společný dělitel. Používá se následovně: „=GDC(A1;A2)“. Poté je důležitá funkce ODMOCNINA(), která vrátí druhou odmocninu čísla. Po zadání „=ODMOCNINA(A1)“ se zobrazí druhá odmocnina hodnoty v buňce A1. Například po zadání čísla 9 do parametrů funkce se zobrazí hodnota 3. Mezi základní funkce patří také funkce KDYŽ(), nejedná se ale o matematickou funkci, nýbrž o logickou. V závorkách se nachází 3 parametry. Nejprve je zde uvedena podmínka, u které se zjišťuje, zda je splněna, například „A1>0“. Konkrétně tato podmínka ověřuje, zda je hodnota v buňce A1 větší než nula. Dalším parametrem, který se oddělí středníkem, je výstup v případě, kdy je podmínka splněna. Může se vypsat buď číslo, text, nebo případně může proběhnout nějaká funkce. Text musí být zadán vždy v uvozovkách kvůli rozlišení datového typu, funkce se zapíše bez uvozovek. Následující parametr, který je opět oddělen středníkem určuje, co se stane, pokud podmínka není splněna. Celý vzorec může vypadat například takto: „=KDYŽ(A1>0;“Číslo je větší než nula“;“Číslo je menší nebo rovno nule“)“.

Nemusí se ovšem jednat jen o čísla, lze prověřit, zda daná buňka obsahuje konkrétní text, to by vypadalo například takto: „A1=“text“. Dále také funkce nemusí být jen výstupem z funkce, ale i v podmínce. Například při zjištění, zda je součet nějakých dvou čísel větší než jiné číslo (funkce SUMA()), nebo jestli je konkrétní buňka prázdná, či vyplněná. To se nastaví funkcí JE.PRÁZDNÉ(). Do parametru této funkce patří odkaz na buňku, u které se prověří, zda je prázdná, v tom případě je podmínka pravdivá, nebo zda prázdná není, v tom případě je podmínka nepravdivá. V parametrech funkce lze funkce kombinovat a například po zjištění, že je podmínka pravdivá, provést další funkci, například opět funkci KDYŽ() a zjistit platnost další podmínky.

2. Goniometrické funkce

2.1. Funkce sinus

Funkce sinus je jedna z nejpoužívanějších goniometrických funkcí a v učivu středoškolské matiky zaujímá velkou kapitolu. Použití nalézá například při sčítání vektorových fyzikálních veličin nebo při přípravách technických výkresů. V praxi může jít například o měření výšky budov nebo v astronomii vzdálenosti blízkých hvězd. V matematice je v pravoúhlém trojúhelníku je definována jako poměr protilehlé odvěsny ku přeponě.

Práce v programu Microsoft Excel je s touto funkcí snadná. Existuje pro to jednoduchá funkce, která se značí stejně jako v matematice, tedy SIN(). Do parametrů funkce, mezi závorky, patří údaj v radiánech, ke kterému se vypočítá sinus.

V tomto případě se budou užitečné dvě další funkce. Tou první je funkce PI(), která Vrátí číslo 3,14159265358979, matematickou konstantu , s přesností na 14 desetinných míst. [4] Vhodná je tedy při zapisování hodnot v radiánech, jako je například  nebo . Dál se s ním dá pracovat stejně jako s číslem, můžeme například do parametrů funkce sinus napsat „=PI()/2“, což odpovídá devadesáti stupňům. Program nám následně vrátí hodnotu 1.

Častým problémem při psaní desetinných čísel či velkých čísel v řádu tisíců a větších může být ten, že každému vyhovuje jiný typ oddělovače. Ten je možný nastavit v okně Možnosti, který se nachází na kartě Soubor. Dále je třeba kliknout na Upřesnit a zrušit označení pole Používat oddělovače ze systému. V následujících polích lze nastavit nové oddělovače.

Následující funkcí je v tomto případě RADIANS(), ta převede číslo v závorce ze stupňů do radiánů. Snadné využití nalézá při hledání sinu netabulkových hodnot, jako je například 10 stupňů. Funkce vypadá v tomto případě takto: „=RADIANS(10)“. Celou tuto funkci je nyní možno zapsat do parametru sinus. To bude vypadat následovně: „=SIN(RADIANS(10))“. Program vrátí hodnotu sinus pro 10 stupňů. Tvorba grafu je vysvětlena v odstavci 2.5 Grafy goniometrických funkcí.

Nemusí se ovšem jednat jen o funkci . Do parametrů matematické funkce se dá spoustu přidat, funkce může ve výsledku vypadat například takto: „=SIN((x+1)^2)“ (x značí číslo, nebo odkaz na buňku s číslem). V matematice by se tato funkce značila jako .

V praxi nalézá tato funkce využití například při používání sinové věty. Ta vypadá následovně: . Pro použití v Excelu je nutné převést neznámou na jednu stranu, tedy například pokud není známa strana a, bude vypadat vztah takto: . Pokud úhel  , úhel  a strana  , bude vzorec v aplikaci vypadat takto: „=5/SIN(RADIANS(30))*SIN(RADIANS(60)).

Samozřejmě program Microsoft Excel nabízí i funkci, pro funkci inverzní k sinus. Arkus sinus má v Excelu označení ARCSIN(). V matematice je definována jako: . Do parametrů se vypíše příslušný sinus a jako výsledek se zobrazí hodnota úhlu. Například: „=ARCSIN(1)“. Do buňky se vypíše číslo v radiánech. K převodu do stupňů je potřeba využít funkci DEGREES(). Například po zadání: „=DEGREES(ARCSIN(1))“ zobrazí program 90.

2.2 Funkce kosinus

Kosinus je další goniometrická funkce, která má velmi blízko k sinus a dá se využít ke stejným účelům. V pravoúhlém trojúhelníku je definována jako poměr přilehlé odvěsny ku přeponě. V matematice se tato funkce značí cos.

V programu Microsoft Excel se pracuje s touto funkcí stejně jako s funkcí sinus. Pro zjištění kosinu úhlu se používá funkce COS(). Do parametrů se opět zapíše daný úhel v radiánech, ke kterému můžeme použít již dřív zmíněné funkce PI() a RADIANS(). Jejich používání je vysvětlené v předchozím odstavci 2.1. Funkce sinus. Vytvoření grafu je popsáno v odstavci 2.5 Grafy goniometrických funkcí.

Nemusí jednat pouze o jednoduchý tvar , ale jde s ním dále pracovat a přidávat parametry. Jak je ukázáno v odstavci 2.1. Funkce sinus (viz Obr.2). Obdobným způsobem jako se používá v Excelu sinová věla, lze použít k výpočtu i kosinová věta.

I u této funkce je možnost funkce inverzní, což je funkce, která odpovídá . Zapisuje se v podobě funkce ARCCOS(). Do parametrů funkce mezi závorky patří hodnota kosinu úhlu, který chceme zjistit, takže funkce může vypadat například takto: „=ARCCOS(0,5)“ (arkuskosinus jedné poloviny). Hodnota se zobrazí v radiánech. Je tedy vhodné použít funkci DEGREES(). Tato funkce převádí radiány na stupně. Po zadání funkce „=DEGREES(ARCCOS(0,5))“ se v buňce vypíše 60, neboť kosinus šedesáti stupňů je 0,5.

2.3. Funkce tangens

Další goniometrická funkce se nazývá tangens. Je definována v pravoúhlém trojúhelníku jako poměr odvěsny protilehlé ku odvěsně přilehlé a její použití je tedy v praxi stejné jako u předchozích goniometrických funkcí. I její označení jako funkce v Excelu je stejné jako matematické funkce a to TG(). Do parametrů opět patří hodnota x, tedy úhel v radiánech. K tomu slouží funkce PI() a RADIANS(), jejíchž použití a význam jsou vysvětleny v odstavci 2.1. Funkce sinus.

S funkcí se dá dále pracovat a různě upravovat, například do tvaru „=2*TG(4*x)^2“. Konkrétně tento tvar vyjadřuje funkci .

U tangens existuje také v Excelu funkce pro inverzní funkci arkustangens. Tato funkce je definována takto: . V Excelu se zapisuje jako ARCTG(). Do parametrů funkce patří opět tangens úhlu, který má Excel zjistit. Funkce vrátí výsledek v radiánech, tudíž velmi užitečná je funkce DEGREES(), která převede radiány na stupně. Příklad může vypadat například takto: „=DEGREES(ARCTG(1))“. Jako výsledek této funkce se zobrazí 45, nýbrž tangens čtyřiceti pěti stupňů je 1.

2.4 Funkce kotangens

Poslední goniometrická funkce, která je definována v pravoúhlém trojúhelníku jako poměr odvěsny přilehlé ku odvěsně protilehlé, se nazývá kotangens a její využití v praxi je stejné jako u už výše uvedených goniometrických funkcí. V programu Microsoft Excel má trochu jiné označení než v matematice a to COT(). Pracuje se s ní ale stejně jako s výše uvedenými goniometrickými funkcemi. Do parametrů funkce, tedy do závorky, patří hodnota x, pro kterou tato funkce vypočítá kotangens. Vstupním formátem jsou opět radiány, tudíž vhod přijdou funkce PI() a RADIANS(). Vysvětleny jsou tyto dvě funkce již výše v odstavci 2.1. Funkce sinus.

Do funkce lze přidat další argumenty, nezůstat tak jen u základního tvaru „=COT(x)“ a tak vytvořit například tuto funkci: „=4*COT(2*x)^3“.

Také u této funkce se dá v Excelu pracovat s její inverzní hodnotou. Arkus kotangens se dá definovat jako  a zapisuje pomocí funkce ACOT(). Pracuje se s ní stejně jako s předchozími inverzními funkcemi a to tak, že do parametrů funkce patří údaj o hodnotě kotangens zjišťovaného úhlu. Program vrátí hodnotu arkus kotangens v radiánech. Proto je užitečná funkce DEGREES(), která převede radiány do stupňů. Funkce pak může vypadat například takto: „=DEGREES(ACOT(1))“. Program vrátí hodnotu 45. Kotangens čtyřiceti pěti stupňů je totiž 1.

2.5 Grafy goniometrických funkcí

V případě, že chceme vytvořit graf, budeme potřebovat vytvořit tabulku, kde jeden řádek, či sloupec bude udávat hodnoty x a druhý hodnoty y. V případě goniometrických funkcí patří do jednoho řádku stupně, pro které chceme zobrazit jejich sinus v grafu. Může se jednat i o radiány, v tom případě není nutné použít funkci RADIANS(). Pokud zadáme stupně je potřeba tuto funkci použít. Nejvhodnější je zadávat stupně po deseti. Do druhého řádku vypíšeme funkci sinus, kosinus, tangens nebo kotangens, kde parametr bude obsahovat odkaz na buňku s hodnotou x v horním řádku, popřípadě převod ze stupňů na radiány. Takže napsaná funkce může vypadat například takto: „=SIN(RADIANS(A3))“. V buňce A3 je původní hodnota x ve stupních. Toto stejný postup platí pro všechny hodnoty, které se zobrazí v grafu. Není nutnost se omezovat na  , je možné funkci rozepsat například do tvaru „=2*SIN(RADIANS(3*A3))“. Pokud je použita tato funkce, zobrazí ve výsledku Excel graf funkce .

Pro urychlení slouží zatažení za dolní pravý okraj buňky, který zkopíruje funkci do další buňky a příslušně změní její parametry, tedy pokud je v buňce před posunutím: „=SIN(RADIANS(A3))“, tak po posunutí doprava se do další buňky zkopíruje funkce: „=SIN(RADIANS(A4))“. Tento způsob lze využít i při zapisování hodnot x. Například po zapsání čísla 10 a do vedlejší buňky 20, je možné označit tyto 2 buňky a tažením doprava postupně kopírovat do buněk 30, 40, 50, atd., tažením doleva se bude naopak hodnota o deset snižovat, tedy 0, -10, -20 atd.

Dalším krokem je kartě Vložit vybrat graf spojnicový. Při kliknutí pravým tlačítkem na zatím prázdný obdélník, který vznikl, se zobrazí menu, ze kterého je třeba vybrat položku Vybrat data (viz Obr.3). Poté v levém sloupci vybrat tlačítko Přidat a smazat v druhém řádku „={1}“ a místo toho označit řádek, kde jsou hodnoty sinus. Po kliknutí na OK je ještě potřeba kliknout na tlačítko Upravit v pravém sloupci, kde vybereme řádek s hodnotami x. Výsledkem po potvrzení bude příslušný graf, tedy sinusoida, kosinusoida, tangentoida nebo kotangentoida.

3. Kvadratická funkce

V každé kvadratické funkci se vyskytuje alespoň jedna neznámá s druhou mocninou. Obecně kvadratické rovnice mají plno využití, jako jsou různorodé vzorce, například vzorec při výpočtu obvodu kružnice, obsahu čtverce, či použití v Pythagorově větě. V programu Microsoft Excel existují dvě možnosti pro vypočítání kvadratických rovnic a pro práci s kvadratickými funkcemi.

V prvním případě není potřeba použít funkce Excel, ale stačí stisknutí Klávesy Alt Gr a klávesy š. Vypíše se stříška, která značí, že za tímto znakem se bude nacházet právě exponent. Například kvadratická funkce:  vypadat v Excelu takto: „=2*x^2“ (na místo x patří buď konkrétní číslo, nebo odkaz na buňku s číslem). Pozor na to, že stříška se nejprve nevypíše, zobrazí se až poté, co je za ni napsán nějaký znak, v tomto případě exponent.

Druhou možností je použít funkci POWER(). Tuto funkci je možné použít i v případě kubických a dalších rovnic, kde se nachází mocnina. Do parametrů této funkce patří dvě položky, tou první je hodnota, se kterou se bude dál pracovat, která bude buď ve tvaru čísla, či odkazu na buňku s číslem a tou druhou položkou je exponent. V případě kvadratické funkce se jedná o číslo 2. Tyto dva argumenty jsou odděleny středníkem, který se na klávesnici nachází vlevo na klávesnici nad klávesou Tab. Již výše zapsaná matematická funkce bude v programu Microsoft Excel vypadat po použití této funkce následovně: „=2*POWER(x;2)“ (neznámá x zde nahrazuje opět konkrétní číslo, či odkaz na jinou buňku). Funkci lze využít i pro výpočty odmocnin. Třetí odmocnina je vlastně mocnina na 1/3. Takže pro druhou odmocninu lze využít „=POWER(x;1/2)“, pro třetí „=POWER(x;1/3)“. [4]

K vytvoření grafu jsou potřeba dva řádky nebo sloupce. První řádek bude obsahovat hodnoty x a druhý řádek hodnoty y. V druhém řádku bude zapsána konkrétní funkce odkazující na řádek horní s příslušnou hodnotou x, například: „=2*POWER(A2;2)“ (původní hodnota x je v buňce A2). Následně je nutné vybrat na kartě Vložit bodový graf s vyhlazenými spojnicemi, po kliknutí na něj se zobrazí možné akce a po vybrání Vybrat data je nutné přidat do levého sloupce (řady) hodnoty y, tedy druhý řádek. Pravý sloupec je třeba upravit tak, aby zde byly hodnoty prvního řádku s hodnotami x. Po stisknutí OK se graf zobrazí. Stejným způsobem se dají vytvářet i exponenciální grafy a rovnice.

4. Funkce s absolutní hodnotou

Absolutní hodnota v matematice se značí |x|. Program Microsoft Excel ovšem neumí tento znak přečíst. Proto se pro absolutní hodnotu používá funkce ABS(). Do parametrů funkce patří číslo, či odkaz na buňku s číslem x. Funkce může vypadat například takto: „=ABS(-5)“. Po stisknutí Enter vrátí Excel číslo 5.

Graf se tvoří stejně jako u ostatních funkcí. Nejprve je potřeba první řádek, do kterého patří hodnoty x a následně druhý řádek, kde se vypíší hodnoty y tak, že se zde použije funkce ABS(), kde v parametru bude uveden místo čísla x odkaz na příslušnou hodnotu v horním řádku. Funkce pak může vypadat ve druhém řádku takto: „=ABS(A2)“. V tomto případě je v parametru funkce odkaz na buňku A2 s výchozí hodnotou x. V případě absolutní hodnoty je nejlepší použít x-ové hodnoty mezi -5 a 5. Následně je potřeba vybrat na kartě Vložit graf bodový, u absolutní hodnoty s rovnými spojnicemi. Po kliknutí na prázdný graf pravým tlačítkem myši se zobrazí menu a po kliknutí na Vybrat data je nutné vybrat tlačítko Přidat. Místo hodnoty „={1}“, která je napsaná ve druhém řádku je potřeba označit řádek s hodnotami y a potvrdit pomocí OK. Následně v pravém sloupci je pro správné popsání x-ových hodnot potřeba kliknout na Upravit a vybrat první řádek s hodnotami x a kliknout opět na OK. Zobrazí se výsledný graf.

I v tomto případě lze použít tlačítko v pravém dolním rohu buňky, které při posouvání kopíruje, případně upravuje obsah buňky a vkládá do vedlejších. V prvním řádku se dá využít tak, že stačí napsat číslo -5 a vpravo od této hodnoty číslo -4, označit tyto dvě buňky a tažením doprava se budou čísla přičítat. Do dalších polí se vloží postupně -3, -2, -1, 0… Ve druhém řádku lze tato možnost využít tak, že po zapsání jedné funkce, například „=ABS(A3)“, se po zatažení tlačítkem v pravém dolním rohu buňky doprava funkce zkopíruje, pozmění se její obsah a vloží se do vedlejší buňky, tam bude vypadat takto: „=ABS(A4)“.

Absolutní hodnota ve formě funkce ABS() lze v Excelu použít nejen jako samostatná funkce, ale lze ji spojit s jakýmikoliv dalšími funkcemi. Je možné ji například skombinovat s goniometrickými nebo kvadratickými funkcemi. Výsledná funkce pak může vypadat například takto: „=ABS(POWER(SIN(2x);2)+1)“. Jedná se o funkci.

5. Řešitel

5.1. O doplňku Řešitel

Řešitel je doplněk aplikace Microsoft Excel a používá se pro analýzu dat (viz Obr. 4). Slouží k nalezení konkrétní hodnoty, maxima, či minima daného vzorce. Nejlépe jde představit tato funkce na grafech matematických funkcí, kde pomocí tohoto doplňku lze najít pro funkci její maximum, minimum a určit konkrétní y pro dané x. Doplněk pracuje s účelovou funkcí, s proměnnou modelu a s omezujícími podmínkami. Řešitel ve srovnání s běžnými vzorci funguje přesně obráceně: ze zadané hodnoty výsledku zjišťuje potřebnou vstupní hodnotu (Obr.4). Tuto úlohu není možné vyřešit jedním krokem, a proto Řešitel postupuje iteračně: po zadání výchozího odhadu zjišťované hodnoty a hodnoty, kterou má vzorec produkovat se výpočet opakuje tak dlouho, až se výsledek vzorce liší od zadaného výsledku méně, než je nastavená přesnost. Tento postup má však (jako každý přibližný výpočet) jedno úskalí: výpočet nemusí ve všech případech vést k cíli. [6] Přesnost je možné nastavit po kliknutí na tlačítko Možnosti. Tato přesnost je použita i u zjištění přesnosti splnění podmínek. V tomto okně lze také nastavit maximální počet iterací a maximální čas, ve kterém bude Řešitel hledat řešení. Řešitel využívá 3 metody řešení, Gradientní, Simplexovou a Evoluční algoritmus. GRG Nonlinear neboli Gradientní metoda složí k řešení hladkých nelineárních problémů, metoda LP Simplex neboli Simplexová metoda, složí k řešení lineárních problémů a metoda Evolutionary neboli Evoluční algoritmus, slouží k řešení nehladkých problémů. Nejčastěji postačí Gradientní, či Simplexová metoda.

5.2. Použití Řešitele

5.2.1. Přidání doplňku do Excelu

Tím, že je Řešitel doplněk, není vždy součástí základního nastavení Excelu a je často skryt. Stejně jako ostatní doplňky, je potřeba ho v nastavení zobrazit. Nastavením jsou v Excelu konkrétně myšleny Možnosti. Ty se nachází po kliknutí do levého horního rohu na kartu Soubor v levém sloupci úplně dole. Po kliknutí se zobrazí tabulka Možnosti aplikace Excel. Doplňky včetně Řešitele se nachází na záložce Doplňky. V dolní části je potřeba vybrat v rozevíracím poli spravování doplňků Excel a následně kliknout na Přejít. Poté zaškrtnout čtvereček u doplňku Řešitel (viz Obr.5) a potvrdit tlačítkem OK. V tuto chvíli je hotovo a doplněk se přidal na kartu Data pod záložku Analýza.

5.2.2. Řešení matematických problémů

V první řadě je potřeba vytvořit tabulku a vzorec, se kterým bude Řešitel pracovat. V tabulce musí být uvedeny hodnoty, které se mohou měnit, ty budou uvedeny v Řešiteli pod názvem proměnné buňky. Například v případě výpočtu maxima matematické funkce bude proměnná buňka obsahovat číslo x. Do této buňky je vhodné napsat odhad na výslede. Řešitel si většinou poradí i s prázdnou buňkou, ale ne vždy. Samotnému programu to velmi ulehčí práci. Účelová funkce bude v tomto případě y. V této buňce musí být zapsána konkrétní funkce, vzorec. Pokud zde bude jen číslo, nelze Řešitel použít. V buňce y může být například „=SIN(RADIANS(A3))“, což odpovídá vzorci . A3 je odkaz na buňku s hodnotou x a funkce RADIANS() je zde proto, aby bylo možné zadat x ve stupních.

Kliknutím na tlačítko Řešitel na kartě Data a v záložce Analýza, se zobrazí okno Parametry Řešitele. V prvního řádku s názvem Účelová funkce se bude nacházet odkaz na buňku s číslem, u které má Řešitel najít maximum, minimum, či konkrétní hodnotu. V dalším řádku je potřeba vybrat, zda Řešitel bude hledat konkrétní hodnotu, či maximum nebo minimum. V případě hledání konkrétní hodnoty je pro tuto hodnotu určeno pole v pravé části, s přednastavenou hodnotou „0“. Do pole Proměnné modelu patří odkaz na buňky, které se budou měnit. Pole Omezující podmínky je určeno pro podmínky, které Řešitel musí dodržet při řešení problému. Například při určení minima jakékoliv matematické funkce může být omezující podmínkou interval této funkce. Podmínka se přidá stiskem Přidat. Následně se do levého sloupce nastaví hodnota k porovnání, uprostřed se zvolí relační znaménko a vpravo bude vypsána hodnota se kterou se buňka bude porovnávat. Doporučuje se používat v obou případech odkaz na buňku, jelikož se tak mohou podmínky měnit a model nastavení zůstává stejný. Mezi další možnosti patří podmínka, že číslo na levé straně musí být celé, či binární. Další volbou, která zde lze změnit je, zda má Řešitel počítat i se zápornými čísly, nebo jen s kladnými. Pokud jen s kladnými, bude políčko s názvem Nastavit podmínky nezápornosti zaškrtlé. Pokud má Řešitel počítat i se zápornými čísly, je potřeba tuto možnost odškrtnout. Metody řešení jsou vysvětleny v dolní části okna, ale nejčastěji stačí použít Gradientní metodu. Už stačí jen kliknout na Řešit a Řešitel zobrazí výsledek. Parametry Řešitele vynulujeme tak, že v dialogu Parametry Řešitele klepneme na tlačítko Vynulovat vše. Dialog Microsoft Excel se nás zeptá, jestli chceme vynulovat všechny možnosti a vybrané buňky v Řešiteli. [1] Doplněk nabízí také možnost uložení model nastavení před vyřešením. To se provede stiskem Načíst nebo uložit, kde stačí vybrat prázdnou buňku (pod kterou je další místo, model zabere více než jeden řádek) a stisknout Uložit. V opačném případě, kdy je potřeba model nahrát, je opět nutné kliknout na Načíst nebo uložit, dále vybrat oblast buněk, kam byl model uložen a kliknout na Načíst.

Po vyřešení nabídne Excel možnost uchovat řešení, či obnovit původní hodnoty. Tím se vrátí zpět řešení a zobrazí se předchozí hodnoty buněk. Dále je možnost sestavit podrobnější výsledek a postup, jak Řešitel postupoval. Sestava se vytvoří na novém listu. Jako poslední lze nastavit, zda se má opět zobrazit okno Parametry Řešitele, pro změnu či nastavení nového postupu řešení.

Příkladem pro využití tohoto doplňku může být například firma vyrábějící 3 typy produktů s různou výrobní a prodejní cenou a je potřeba zjistit kolik výrobků od každého druhu je potřeba vyrobit pro nejvyšší zisk, či pro zisk konkrétní hodnoty.  Ve vybrané buňce, která poslouží jako Účelová funkce se zobrazí výsledek, buňky s počtem vyrobených kusů budou vypsány do pole s názvem Proměnné modelu a do omezujících podmínek můžeme zahrnout například omezený počet všech výrobků, či omezený čas (v tomto případě je třeba zadat potřebný čas pro vyrobení jednotlivých výrobků).

Samozřejmě lze touto metodou řešit i různé matematické rovnice s jednou neznámou (viz Obr. 6). Jedna strana bude zapsaná do buňky sloužit v Řešiteli jako Účelová funkce. Na této straně musí být všechna x. Místo x je ale potřeba zadat odkaz na prázdnou buňku, kde se po vyřešení zobrazí výsledná hodnota x. Účelová funkce může vypadat například takto: „=3*C4^2+C4“, což odpovídá matematickému zápisu . V parametrech Řešitele je nutné zvolit hledat hodnotu a zadat číselnou hodnotu druhé strany rovnice. Do pole Proměnné modelu patří odkaz na buňku s číslem x, v tomto případě A2 (viz Obr. 7) Do Omezujících podmínek může být vložen například interval, jehož elementem musí být hodnota x. Dále je potřeba nastavit, zdali se má počítat i s možnými zápornými čísly, či jen s kladnými (včetně nuly). Stačí následně kliknout na Řešit a Řešitel zobrazí výsledek.

6. Problémy při využívání těchto funkcí

Přesto, že Excel je ve všech směrech velmi užitečný i zde se nachází chyby, které mohou zkomplikovat práci s ním. Tyto chyby vyplývají z limitů datových typů. Excel pro výpočet například kosinu devadesáti stupňů používá takový algoritmus, který nevrátí hodnotu 0, ale 6.123233995736766e-17. Jedná se o velmi malé číslo, jen nepředstavitelně blízké nule. A čím je to způsobeno? Funkce kosinus v Excelu, tedy COS(), počítá primárně s radiány a ať už je v parametru funkce (v závorkách) napsaná hodnota v radiánech, či ve stupních, převedena do radiánů pomocí funkce RADIANS(), využívá v obou případech Excel hodnotu . Hodnotu nekonečného čísla. Takové číslo musí být tedy někdy zaokrouhleno, neboť program pochopitelně nedokáže zobrazit nekonečné číslo, ani s ním počítat. Počet platných číslic je v programu Excel omezen na 17 desetinných míst [3]. Poslední číslo je tedy zaokrouhleno a při výpočtu kosinu devadesáti stupňů, tedy , nevyjde výsledek přesně nula. Podobný problém se vyskytuje i u dalších goniometrických funkcí, kde tabulková hodnota je rovna nule. Závažnější problém se vyskytuje u funkce tangens a u devadesáti stupňů. Tato hodnota není správně definována. Avšak funkce „=TG(PI()/2)“ nebo „=TG(RADIANS(90))“ vrátí hodnotu 1,63246E+16. Je to velmi vysoké číslo a tato chyba je způsobena opět hodnotou . Lze to odvodit od definice tangens, která vypadá takto: . Navazuje to na problém s funkcí kosinus. Kosinus devadesáti stupňů je správně nula, přesto Excel nevrátí nulu, ale velmi malé číslo. Nulou dělit nelze, ale tímto malým číslem ano.

Tyto funkce mohou být problematické při tvorbě grafu. Především tangens. U funkce kosinus je toto číslo tak malé, že to vypadá, že se jedná přesně o nulu. Ovšem u funkce tangens je problém ten, že tangens devadesáti stupňů je v Excelu tak vysoké číslo, které celý graf zničí. Je tedy potřeba číslo 90 vynechat. Při volbě x začít od hodnoty -80 a jako poslední zadat hodnotu 80. Je nutné dát si také pozor u zadání grafu, zda ve funkci není uvedeno například 2x, kde by vznikl problém na čtyřiceti pěti stupních, či například u funkce , neboť by zde nebyla tato funkce definována. K podobnému problému dochází i u funkce kotangens. Nejedná se ale o chybu. Kotangens 0 není definován, proto musí uživatel zvolit správný interval, jehož elementem je x. V případě nepozměněné funkce  je potřeba mít x omezené intervalem , v prvním řádku tak budou hodnoty 10, 20, 30…170. Hodnoty 0 a 180 by nahlásily chybu.

Diskuze

Excel je program dělaný pro editaci velkých souborů, vytváření rozsáhlých seznamů a tabulek. Co se týče programu jako takového, je to bezpochyby nejvyužívanější a funkčně nejobsáhlejší tabulkový procesor, již od devadesátých let. [5] A stejně tak pestré jsou možnosti jeho využití v matematice. Má velkou výhodu v orientaci, neboť se vším, co se do tabulky napíše se dá později manipulovat, měnit polohu či obsah, dále pomocí jednoduchých funkcí a snadných a lehce pochopitelných vzorců dají spočítat i složité příklady, které by bez tohoto programu zabrali mnohem více času. Navíc je možnost mít předpřipravenou tabulku pro řešení určitých problémů, například sinové věty a při dalším použití jen zadat do konkrétních buněk hodnoty a pomocí vzorců, které jsou uloženy už z předchozího použití, se zobrazí výsledek.

Nevýhodou může být nutnost znalosti všech potřebných funkcí a zjišťování údajů, které jsou na první pohled jasné, přesto je Excel potřebuje pro další výpočty a je nutné vložit složitý vzorec. Dále se vyskytuje při používání tohoto programu problém s náčrty. Některé slovní úlohy je velmi obtížné řešit bez obrázku. Ten je samozřejmě možný vytvořit z tvarů dostupných v aplikaci, ovšem to zabere hodně času a načrtnout situaci na papír je mnohem rychlejší. I takové úlohy jsou na ukázku zařazeny do přiložené sbírky úloh.

Na druhou stranu jsou skvělou možností v tomto programu grafy. I přesto, že jsou zde problémy v některých grafech, je jich jen pár a dají se snadno obejít, viz odstavec Problémy při využívání těchto funkcí. S ostatními grafy Excel nemá žádný problém a zobrazí i složitější. Další důvod, způsobující oblíbenost tohoto programu je propojení s ostatními aplikacemi z kancelářského balíku Microsoft Office. Tabulku či graf vytvořený v Excelu je pak snadné převést do Wordu či PowerPointu.

Excel nemusí vyhovovat všem, velmi záleží na přístupu uživatele a mnozí zvolí podle nich lehčí variantu řešení pomocí papíru a kalkulačky, než aby se dozvěděli něco nového a ulehčili si jejich budoucí práci. Microsoft Excel je program potřebný v téměř každé firmě. Kromě matematiky může být Excel využíván u jednotlivce jako jednoduchý seznam filmů, přehled o příjmech nebo jako tabulka na sledování stavu účtů a plánování výdajů.

Závěr

Ve své práci popisuji jednotlivé funkce v Excelu vyplývající z učiva matematiky na středních školách a na vyšším stupni víceletých gymnáziích. Porovnávám použití tohoto programu při řešení matematických problémů s řešením tradičním, za použití kalkulačky, tužky a papíru.

Svých cílů jsem dosáhl a objasnil jsem, proč si myslím, že je používání programu Microsoft Excel v praxi užitečné. Doporučil bych každému, aby se seznámil se základy této aplikace, neboť její rozmanitost je obrovská a během studia informatiky na středních školách bych této problematice věnoval více času. Tato rozmanitost se ovšem neustále vyvíjí a Microsoft brzy přinese novou verzi tohoto programu, která přidá opět nové funkce a nová využití.

V práci nejsou vypsané všechny funkce, které lze v matematice využít, celý přehled matematických funkcí je snadno dohledatelný na české podpoře společnosti Microsoft, se zaměřením na Excel se jedná o tuto stránku: https://support.office.com/cs-cz/excel.

K práci jest přílohou sbírka úloh uložena na přiloženém CD, obsahující příklady na procvičení funkcí, popsaných v této práci, připravena volně k použití pro studijní účely, především na gymnáziu Nad Kavalírkou.

Seznam použité literatury

1. BARILLA, Jiří, Pavel SIMR a Květuše SÝKOROVÁ. Microsoft Excel 2013: podrobná uživatelská příručka. Brno: Computer Press, 2013. ISBN 978-80-251-4114-4, s. 256-258 (upraveno)
2. Co je to funkce. Matematika.cz [online]. Brno: Nová média, 2014 [cit. 2018-05-12] (upraveno). Dostupné z: https://matematika.cz/co-je-to-funkce
3. Datové typy v datových modelech – Excel. Microsoft [online]. Washington: Microsoft, 2018 [cit. 2018-05-12] (upraveno). Dostupné z: https://support.office.com/cs-cz/article/datov%C3%A9-typy-v-datov%C3%BDch-modelech-e2388f62-6122-4e2b-bcad-053e3da9ba90
4. LASÁK, Pavel. Matematické funkce – MS EXCEL. Jak na Excel [online]. Lasák, 2017 [cit. 2018-05-12] (upraveno). Dostupné z: http://office.lasakovi.com/excel/funkce/ms-excel-funkce-matematicke/
5. PEMBERTON, J D; ROBSON, A J. Spreadsheets in business. In: “Industrial Management & Data Systems“ [online]. 2000, “’100“'(8), 379-388 [cit. 2016-12-26]. Dostupné z databáze: ProQuest Central. ISSN 0263-5577
6. Řešitel a Hledání řešení. NaPočítači.cz [online]. Praha: Dashöfer Holding, 2018 [cit. 2018-05-13]. Dostupné z: https://www.napocitaci.cz/33/resitel-a-hledani-reseni-uniqueidmRRWSbk196FNf8-jVUh4EibDXKDRp3-E-RwhBOXZcJI/
7. Z vlastního archivu 2018: Snímek z aplikace Microsoft Excel

Seznam obrázků

• Obr.  1: Příklad využití funkce SUMA() na sčítání 2 čísel
• Obr.  2: Zápis funkce  do Excelu
• Obr.  3: Okno pro výběr zdrojových dat
• Obr.  4: Jak funguje Řešitel [6]
• Obr.  5: Správně vybraný doplněk Řešitel
• Obr.  6: Rozložení při výpočtu rovnice pomocí Řešitele
• Obr.  7: Správné nastavení údajů v okně Parametry Řešitele

Seznam příloh

• Příloha č. 1: Sbírka úloh – přiložena na CD
• Příloha č. 2: Řešení sbírky úloh – přiložena na CD

Článek Funkce v Excelu – využití se zaměřením na matematiku se nejdříve objevil na Studijni-svet.cz.

Otázka: Příklad na analytickou geometrii

Předmět: Matematika

Přidal(a): Studijni-svet.cz

Zadání příkladu:

V soustavě souřadnic Oxy je zobrazena přímka p, která protíná souřadnicové osy v bodech M [-4; 0] a N [0; 2]. Přímka q je rovnoběžná s osou y a prochází bodem A [-6; 5]. Přímky mají průnik v bodě P.

a) Zapište směrnicový tvar rovnice přímky p.

b) Vypočítejte vzdálenost bodů O, P (výsledek nezaokrouhlujte).

Řešení:

a) Směrnicový tvar přímky

1) Na základě přímky MN jsme schopni určit vektor n

$$ \rightarrow _{MN} = (4; 2)$$
$$ \rightarrow _{n} = (2; -4)$$

2) K výpočtu využijeme vzoreček pro obecnou rovnici

$$ax + by + c = 0$$

3) Dosadíme souřadnice A a B z přímky MN

$$2x – 4y + c = 0$$

4) Za x a y dosazíme souřadnice bodu M

$$2(-4) – 4\cdot 0 + c = 0$$

5) Nyní již víme kolik je c a můžeme pokračovat ve výpočtech

$$c = 8$$

6) Znovu dosadíme do obecné rovnice, tentokrát obsadíme i třetí neznámou

$$2x – 4y + 8 = 0$$

7) Celou rovnici pokrátíme 2

$$x – 2y + 4 = 0$$

8) Převedeme si do směrnicového tvaru přímky

$$2y = x + 4$$

9) Přepočítáme na 1 y

$$y = \frac{1}{2} x + 2$$

b) Vzdálenost bodů O, P

1) Nejprve sestavíme rovnice k získání souřadnic bodů P a O

p: y – 2y + 4 = 0

q: x = -6

2) Ze soustavy předešlých rovnic víme

P [-6; -1]

3) Dále víme

O [0; 0]

4) K zjištění vzdálenosti potřebujeme zjistit

$$\rightarrow _{PO} $$

5) Čísla pod odmocninou umocníme a sečteme

$$|\rightarrow _{PO} = \sqrt{6^{2} + 1^{2}}$$

6) Vzdálenost bodů P, O je

$$|\rightarrow _{PO} = \sqrt{37}$$

Časová náročnost: 10 minut

Jedná se o příklad z podzimního maturitního testu 2018.

Článek Analytická geometrie – řešený příklad se nejdříve objevil na Studijni-svet.cz.

Další řešené didaktické testy z matematiky jsou [tady]. Oficiální zadání tohoto testu je [zde]. 

Maximální počet bodů je 50, minimálně je třeba získat 33 %. Na vypracování je 120 minut.

Jednotlivé příklady z testu i s jejich řešenými výpočty:

1. příklad (1 bod) [zobrazit zadání + řešení]

2. příklad (1 bod) [zobrazit zadání + řešení]

3. příklad (2 body) [zobrazit zadání + řešení]

4. příklad (3 body) [zobrazit zadání + řešení]

5. příklad (2 body) [zobrazit zadání + řešení]

6. příklad (1 bod) [zobrazit zadání + řešení]

7. příklad (1 bod) [zobrazit zadání + řešení]

8. příklad (3 body) [zobrazit zadání + řešení]

9. příklad (2 body) [zobrazit zadání + řešení]

10. příklad (1 bod) [zobrazit zadání + řešení]

11. příklad (1 bod) [zobrazit zadání + řešení]

12. příklad (část a) (1 bod) [zobrazit zadání + řešení]

13. příklad (část b) (1 bod) [zobrazit zadání + řešení]

14. příklad (2 body) [zobrazit zadání + řešení]

15. příklad (3 body) [zobrazit zadání + řešení]

16. příklad (2 bod) [zobrazit zadání + řešení]

17. příklad (2 body) [zobrazit zadání + řešení]

18. příklad (2 body) [zobrazit zadání + řešení]

19. příklad (2 body) [zobrazit zadání + řešení]

20. příklad (2 body) [zobrazit zadání + řešení]

21. příklad (2 body) [zobrazit zadání + řešení]

22. příklad (2 body) [zobrazit zadání + řešení]

23. příklad (2 body) [zobrazit zadání + řešení]

24. příklad (2 body) [zobrazit zadání + řešení]

25. příklad (4 body) [zobrazit zadání + řešení]

26. příklad (3 body) [zobrazit zadání + řešení]

Článek Řešený maturitní test z matematiky (podzim 2018) se nejdříve objevil na Studijni-svet.cz.

Další řešené didaktické testy z matematiky jsou [tady]. Oficiální zadání tohoto testu je [zde]. 

Maximální počet bodů je 50, minimálně je třeba získat 33 %. Na vypracování je 120 minut.

Jednotlivé příklady z testu i s jejich řešenými výpočty:

1. příklad (1 bod) [zobrazit zadání + řešení]

2. příklad (1 bod) [zobrazit zadání + řešení]

3. příklad (2 body) [zobrazit zadání + řešení]

4. příklad (2 body) [zobrazit zadání + řešení]

5. příklad (2 body) [zobrazit zadání + řešení]

6. příklad (část a) (1 bod) [zobrazit zadání + řešení]

7. příklad (část b) (2 body) [zobrazit zadání + řešení]

8. příklad (3 body) [zobrazit zadání + řešení]

9. příklad (2 body) [zobrazit zadání + řešení]

10. příklad (část a) (1 bod) [zobrazit zadání + řešení]

11. příklad (část b) (1 bod) [zobrazit zadání + řešení]

12. příklad (část a) (1 bod) [zobrazit zadání + řešení]

13. příklad (část b) (1 bod) [zobrazit zadání + řešení]

14. příklad (2 body) [zobrazit zadání + řešení]

15. příklad (3 body) [zobrazit zadání + řešení]

16. příklad (2 bod) [zobrazit zadání + řešení]

17. příklad (2 body) [zobrazit zadání + řešení]

18. příklad (2 body) [zobrazit zadání + řešení]

19. příklad (2 body) [zobrazit zadání + řešení]

20. příklad (2 body) [zobrazit zadání + řešení]

21. příklad (1 bod) [zobrazit zadání + řešení]

22. příklad (2 body) [zobrazit zadání + řešení]

23. příklad (2 body) [zobrazit zadání + řešení]

24. příklad (2 body) [zobrazit zadání + řešení]

25. příklad (4 body) [zobrazit zadání + řešení]

26. příklad (3 body) [zobrazit zadání + řešení]

Článek Řešený maturitní test z matematiky (jaro 2018) se nejdříve objevil na Studijni-svet.cz.

Otázka: Příklad na objem kvádru

Předmět: Matematika

Přidal(a): Studijni-svet.cz

Zadání příkladu:

V kvádru ABCDEFGH se čtvercovou podstavou ABCD platí:

Vrchol C je od hrany GH vzdálen 3 cm stejně jako od stěnové úhlopříčky BD, tedy |C; ↔ GH| = |C; ↔ BD| = 3 cm. Zadané rozměry jsou vyznačeny na obrázku.

Jaký je objem kvádru?

$$a) 27   cm^{3}$$

$$b) 27\sqrt{2}   cm^{3}$$

$$c) 27\sqrt{3}   cm^{3}$$

$$d) 54   cm^{3}$$

$$e) jiný$$

Řešení:

1) Pro výpočet objemu potřebujeme znát rozměry čtvercové podstavy. Délka celé úhlopříčky AC je 6 cm.

2) Je možné určit velikost hrany úhlopříčky:

$$u = a\sqrt{2}$$

3)Dosadíme do vzorce:

$$6 = a\sqrt{2}$$

4) Čísla převedeme na jednu stranu a neznámou na druhou

$$a = 3\sqrt{2} cm$$

5) Nyní již můžeme počítat objem:

$$V = a^{2} \cdot v$$

6) Dosadíme do vzorečku:

$$V = (3\sqrt{2})^{2} \cdot 3$$

7) Zbavíme se závorky a vypočítáme:

$$V = 54 cm^{3}$$

Správně je tedy za (d).

Časová náročnost: 7 minut

Jedná se o příklad z podzimního maturitního testu 2018.

Článek Objem kvádru – řešený příklad se nejdříve objevil na Studijni-svet.cz.

Otázka: Příklad na objem válce

Předmět: Matematika

Přidal(a): Studijni-svet.cz

Zadání příkladu:

Máme 2 nádoby, které mají tvar válce. První z nich je 3x vyšší než druhá, ale průměr dna má 2x menší než druhá. První nádobu naplníme po okraj vodou a potom všechnu vodu přelijeme do druhé nádoby, ve které nic nebylo.

Jakou část objemu druhé nádoby voda zaplní?

a) 3/4

b) 2/3

c) 2/9

d) 1/5

e) Voda přeteče, objem druhé nádoby je menší než objem první nádoby

Řešení:

1) Vypočítáme objem prvního válce

$$V_{1} = π(\frac{d}{2})^{2} 3v$$

2) Zbavíme se závorky (roznásobíme a upravíme)

$$V_{1}=\frac{3}{4}\pi d^{2}v$$

Objem první nádoby je 3/4 objemu druhé nádoby, správně je tedy za (a)

3) Vypočítáme objem druhého válce

$$V_{2} = π (\frac{2d}{2})^{2} v$$

4) Zbavíme se závorky, dvojky se nám vyruší a zbyde jen d na druhou

$$V_{2} = π d^{2}v$$

Časová náročnost: 6-8 minut

Jedná se o příklad z podzimního maturitního testu 2018.

Článek Objem válce – řešený příklad se nejdříve objevil na Studijni-svet.cz.