Pro ověření toho, že dokážete využít Pascalův trojúhelník při odvození binomického rozvoje, si pojďme společně vyřešit příklad.
Zadání:
S pomocí Pascalova trojúhelníku odvoďte výpočet pro:
$${(a+b)}^{5}$$
Řešení:
K řešení si musíme sepsat Pascalův trojúhelník, což není nic složitého, když víme, že se jedná o trojúhelník začínající 1 a další členy jsou vždy součtem členů nad nimi. Pomoci nám mohou také kombinační čísla a jejich sepsání pro n=5.
Řešení s pomocí vypsání Pascalova trojúhelníku pomocí číslic:
$$\begin{matrix}
&&&&&1\\
&&&&1&&1\\
&&&1&&2&&1\\
&&1&&3&&3&&1\\
&1&&4&&6&&4&&1\\
1&&5&&10&&10&&5&&1
\end{matrix}$$
Podíváme se na šestý řádek trojúhelníku (stále mějme na paměti, že první řádek je určen pro n=0, proto n=5 najdeme na šestém řádku) a opíšeme si čísla.
Řešení pomocí vypsání řádku, ve kterém je n=5 s pomocí kombinačních čísel:
$$\binom{5}{0}\binom{5}{1}\binom{5}{2}\binom{5}{3}\binom{5}{4}\binom{5}{5}$$
1, 5, 10, 10, 5,1
Víme, že tato čísla se budou vyskytovat ve vzorci, takže je do něj doplníme:
$${(a+b)}^{5}={a}^{5}+5{a}^{4}b+10{a}^{3}{b}^{2}+10{a}^{2}{b}^{3}+5a{b}^{4}+{b}^{5}$$
