O lekci
Zadání: Řešte s pomocí substituce rovnici (v množině R).
$${({x}^{2}-x+2)}^{2}-6({x}^{2}-x)-4=0$$
Řešení:
$${({x}^{2}-x+2)}^{2}-6({x}^{2}-x)-4=0$$
v obou závorkách se vyskytuje člen x²-x, budeme tedy substituovat ten
$${x}^{2}-x=a$$
$${(a+2)}^{2}-6a-4=0$$
$${a}^{2}+4a+4-6a-4=0$$
$${a}^{2}-2a=0$$
S použitím Vietových vzorců najdeme kořeny rovnice
ax²+bx+c=0 (x1+x2=-b; x1·x2=c)
a1+a2=-b ; a1• a2=c
a1+a2=2
a1•a2=0
a1=2; a2=0
Nyní se můžeme vrátit ke vztahu:
$${x}^{2}-x=a$$
a najít řešení pro 0 a 2
$${x}^{2}-x=0$$
Opět využijeme Vietových vzorců a najdeme oba kořeny
x1+x2=1
x1•x2=0
x1=0; x2=1
$${x}^{2}-x=2$$
$${x}^{2}-x-2=0$$
Opět využijeme Vietových vzorců a najdeme oba kořeny
x1+x2=1
x1•x2=-2
x1=-1; x2=2
Řešením je:
K={0;±1;2}
