O lekci
Zatímco v případě Permutací bez opakování jsme uspořádávali permutace z daných prvků, přičemž každý se v daný permutaci vyskytoval pouze jednou (kolika způsoby seřadíme na poličku 4 knihy, kolika způsoby seřadíme do řady 5 dětí atd.), pokud počítáme PERMUTACE S OPAKOVÁNÍM, některé prvky se mohou opakovat. Ale pozor! Na jejich pořadí nám stále záleží.
- Vzorec pro výpočet PERMUTACÍ S OPAKOVÁNÍM využijeme v případě, kdy chceme vypočítat kolik způsoby můžeme za lokomotivu uspořádat 3 vagóny, když dva z nich jsou osobní a jeden nákladní (ty osobní vagóny mezi sebou nerozlišujeme).
- PERMUTACE S OPAKOVÁNÍM využijeme také v případě, kdy chceme zjistit kolika způsoby se dají přeskupit písmena například ve slově ABRAKADABRA.
- Při počítání PERMUTACÍ S OPAKOVÁNÍM musíme vždy zohlednit prvky, které mezi sebou nerozlišujeme. Pojďme si na konkrétním případu ukázat, co tím myslíme. V případě přehazování písmen ve slově ABRAKADABRA musíme vzít v potaz to, že:
- písmeno A se v tomto slově vyskytuje 5x
- písmeno B se v tomto slově vyskytuje 2x
- písmeno R se v tomto slově vyskytuje 2x
- písmeno K se v tomto slově vyskytuje 1x
- písmeno D se v tomto slově vyskytuje 1x
- Slovo ABRAKADABRA je tvořeno z 5 různých písmen.
- Základní vzorec pro výpočet PERMUTACÍ S OPAKOVÁNÍM vypadá následovně:
$$P´(k1,k2,…kn)=\frac{(k1+k2+….+kn)!}{k1!k2!….kn!}$$
- k značí kolika možnostmi může být prvek přeřazen
- Vzorec a to jak jej správně používat si vysvětlíme na našem příkladu ABRAKADABRA.
- 5xA = k1 = 5
- 2XB = k2 = 2
- 2xR = k3 = 2
- 1xK = k4 = 1
- 1xD = k5 = 1
Nyní zbývá dosadit do vzorce pro výpočet Permutací s opakováním
$$P´(k1,k2,…kn)=\frac{(k1+k2+….+kn)!}{k1!k2!….kn!}$$
$$P´(5,2,2,1,1)=\frac{(5+2+2+1+1)!}{5!2!2!1!1!}=\frac{11!}{5!2!2!1!1!}=83160$$
