Zadání: Určete středovou rovnici a asymptoty hyperboly se středem S[2; -1], ohniskem E[7; -1] a vrcholem A[5; -1].

Řešení:

Naším cílem je zjistit, jak hyperbola vypadá a následně dosadit do rovnice. K tomu potřebujeme znát souřadnice středu, délku hlavní osy a vedlejší osy hyperboly. Protože souřadnice středu známe, můžeme se rovnou vrhnout na výpočet délky osy a a poloosy b.

Nejprve začneme tím, že si dopočítáme poloosu a, protože víme, že a=|SA|. Dosadíme do vzorce pro výpočet vzdálenosti:

$$|AB| = \sqrt{(b_{1} – a_{1})^{2} + (b_{2} – a_{2})^{2}}$$

dostaneme:

$$a=|SA| = \sqrt{(a_{1} – m)^{2} + (a_{2} – n)^{2}}= \sqrt{(5– 2)^{2} + (-1+1)^{2}}= \sqrt{9}=3$$

Stejným způsobem můžeme dopočítat excentricitu, protože ta je rovná vzdálenosti ohniska od středu, tedy e=|SE|

$$e=|SE| = \sqrt{(e_{1} – m)^{2} + (e_{2} – n)^{2}}= \sqrt{(– 2)^{2} + (-1+1)^{2}}= \sqrt{25}=5$$

Nyní můžeme dopočítat poloosu b, kterou vyjádříme ze vztahu

$$e=\sqrt{a^2+b^2}$$

takže dostaneme:

$$b=\sqrt{e^2-a^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{16}=4$$

Pokud si umístění středu, vrcholu a ohniska načrtneme a dotvoříme z něj hyperbolu,

zjistíme, že je rovnoběžná s osou x, tudíž budeme dosazovat do rovnice:

$$\frac{(x-m)^2}{a^2}-\frac{(y-n)^2}{b^2}=1$$

Naše rovnice hyperboly tedy vypadá následovně:

$$\frac{(x-2)^2}{9}-\frac{(y+1)^2}{16}=1$$