Zadání: Řešte v množině R následující rovnici s pomocí substituce.
$${({x}^{2}-x)}^{2}-{x}^{2}+x-30=0$$
Řešení:
$${({x}^{2}-x)}^{2}-{x}^{2}+x-30=0$$
Rovnici si nejprve upravíme následovně:
$${({x}^{2}-x)}^{2}-({x}^{2}-x)-30=0$$
Nyní využijeme substituci:
$${x}^{2}-x=a$$
a řešíme rovnici:
$${a}^{2}-a-30=0$$
S pomocí Vietových vzorců získáme kořeny rovnice
a1+a2=1
a1•a2=-30
Kořeny rovnice jsou:
a1=6
a2=-5
Vrátíme se k výrazu, který jsme substituovali a dosadíme místo a získaná čísla
$${x}^{2}-x=a$$
$${x}^{2}-x=6$$
$${x}^{2}-x-6=0$$
Opět využijeme Vietovy vzorce
x1+x2=1
x1•x2=-6
Kořeny rovnice jsou:
x1=-2
x2=3
$${x}^{2}-x=-5$$
$${x}^{2}-x-5=0$$
Vypočítáme si diskriminant podle vzorce:
$$D={b}^{2}-4ac$$
$$D={-1}^{2}-4\cdot1\cdot5$$
$$D=-19$$
Protože nám diskriminant vyšel záporný, znamená to jediné ⇒ tato rovnice nemá v množině R řešení.
Proto jsou kořeny pouze dva a řešení rovnice je:
K={-2;3}
