Zadání: Zjednoduš následující výraz:

$$\frac{(n+1)!}{n!}-\frac{(2n)!}{(2n+1)!}+\frac{(3n-1)!}{(3n-2)!}$$

Řešení:

Protože víme, že:

$$(n+1)!=(n+1)\cdot{n!}$$

upravíme výraz tak, abychom se zbavili faktoriálů

$$\frac{(n+1)!}{n!}-\frac{(2n)!}{(2n+1)!}+\frac{(3n-1)!}{(3n-2)!}=$$

$$=\frac{(n+1){n!}}{n!}-\frac{(2n)!}{(2n+1)(2n)!}+\frac{(3n-1)(3n-2)!}{(3n-2)!}$$

díky tomu jsme se zbavili faktoriálů a dostali jsme:

$$n+1-\frac{1}{2n+1}+3n-1$$

po úpravě:

$$4n-\frac{1}{2n+1}$$

převedeme na společný jmenovatel:

$$\frac{4n(2n+1)-1}{2n+1}$$

po finálním vynásobení závorky:

$$\frac{8n^{2}+4n-1}{2n+1}$$

pro n musí platit, že je z oboru přirozených čísel