O lekci
Zadání: Zjednoduš následující výraz:
$$\frac{(n+1)!}{n!}-\frac{(2n)!}{(2n+1)!}+\frac{(3n-1)!}{(3n-2)!}$$
Řešení:
Protože víme, že:
$$(n+1)!=(n+1)\cdot{n!}$$
upravíme výraz tak, abychom se zbavili faktoriálů
$$\frac{(n+1)!}{n!}-\frac{(2n)!}{(2n+1)!}+\frac{(3n-1)!}{(3n-2)!}=$$
$$=\frac{(n+1){n!}}{n!}-\frac{(2n)!}{(2n+1)(2n)!}+\frac{(3n-1)(3n-2)!}{(3n-2)!}$$
díky tomu jsme se zbavili faktoriálů a dostali jsme:
$$n+1-\frac{1}{2n+1}+3n-1$$
po úpravě:
$$4n-\frac{1}{2n+1}$$
převedeme na společný jmenovatel:
$$\frac{4n(2n+1)-1}{2n+1}$$
po finálním vynásobení závorky:
$$\frac{8n^{2}+4n-1}{2n+1}$$
pro n musí platit, že je z oboru přirozených čísel