Zadání: Rozhodněte, zda jsou následující tvrzení pravdivá, či nikoliv pro všechna a > b > 0:
(a) $$ (ab-2a)^{2}=a^{2}(b-2)^{2}$$
(b) $$ \sqrt{a^{2}-b^{2}}=a-b$$
 (c) $$ \frac{a^{50}}{a^{10}}=a^{5}$$
(d) $$ a\cdot \sqrt{a}=\sqrt{a^{3}}$$

Řešení:

a) První výrok – ANO
1) Potřebujeme zjednodušit tuto závorku:
$$(ab-2a)^{2}$$
2) Mnohočlen rozložíme dle vzorečku:
$$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$$
$$a^{2}-b^{2}-4a^{2}b+4a^{2}$$
3) Vytkneme a na druhou:
$$a^{2}(b^{2}-4b+4)$$
4) V závorce je rozepsaný vzorec, zapíšeme jej ve složené formě:
$$a^{2}(b-2)^{2}$$
5) Z následujícího tvaru můžeme usoudit, že zde je výrok pravdivý:
$$a^{2}(2-b)^{2}$$

b) Druhý výrok – NE
1) Pokud by byl výrok pravdivý, neplatila by rovnost zadané rovnice výše
$$\sqrt{a^{2}-b^{2}}≠a-b$$

c) Třetí výrok – NE
1) Jednoznačně nepravdivý výrok
$$\frac{a^{50}}{a^{10}}=a^{40}$$

d) Čtvrtý výrok – ANO
1) Odmocníme a před závorkou:
$$\sqrt{a^{2}\cdot a}$$
2) Výsledek se nám rovná zadání:
$$\sqrt{a^{3}}$$

Časová náročnost: 5-6 minut

Jedná se o příklad z maturitního testu.