Zadání: Obrazem trojúhelníku ABC v osové souměrnosti je trojúhelník A¹B¹C.
Platí: ΙBCΙ=4√6; Ι∠BACΙ=45°; Ι∠A¹CB¹Ι=15°
Jak je dlouhá strana A¹C?
Řešení:
Nejprve si sepišme, co všechno známe.
- Víme, že trojúhelník ABC je osově souměrný s trojúhelníkem A¹B¹C.
- Víme, že úhel α=45°
- Víme, že strana a=4√6
- Víme, že úhel γ=15°
Díky tomu, že jsou trojúhelníky shodné, víme, že strana a je shodná se stranou a¹ ⇒ a¹=4√6 a také, že úhel α=α¹=45°
Pokud si dopočítáme úhel β, budeme schopni s pomocí sinové věty dopočítat velikost strany b.
Součet všech úhlů v trojúhelníku je roven 180°, vypočítáme tedy:
α+β+γ=180
Jelikož známe úhly α a γ, vyjádříme úhel β a dostaneme:
β=180-α-γ
β=180-45-15
β=120
Nyní již můžeme použít sinovou větu, protože známe dva úhly v trojúhelníku (α a β) a jednu stranu (a), takže můžeme snadno dopočítat zbývající stranu b.
$$\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}$$
$$b=\frac{{a}\cdot{\sin\beta}}{\sin\alpha}$$
$$b=\frac{4\sqrt{6}\cdot{\sin120°}}{\sin45°}=\frac{4\sqrt6\cdot{\frac{\sqrt3}{2}}}{{\frac{\sqrt2}{2}}}=12$$
Délka strany b je 12 cm.
