Zadání:
Najděte středovou rovnici elipsy se středem S[2; 2], výstředností e = 4 a hlavním vrcholem A[-3; 2].
Řešení:
Abychom mohli dosadit do středové rovnice elipsy, musíme znát souřadnice středu elipsy S
a délku hlavní a vedlejší poloosy a a b
$$\frac{(x-m)^2}{{a}^2}+\frac{(y-n)^2}{{b}^2}=1$$
- Nejprve si tedy vypočítáme délku hlavní poloosy a
Tu získáme z výpočtu velikosti úsečky SA podle vzorce pro výpočet vzdálenosti dvou bodů (a=|SA|)
Protože známe souřadnice bodu S i bodu A, jednoduše dosadíme do vzorce:
$$|AB| = \sqrt{(b_{1} – a_{1})^{2} + (b_{2} – a_{2})^{2}}$$
Získáme tedy:
$$|SA| = \sqrt{(a_{1} – m)^{2} + (a_{2} – n)^{2}}$$
$$|SA| = \sqrt{(-3-2)^{2} + (2-2)^{2}}=\sqrt25=5$$
$$a=5$$
- Nyní se můžeme vrhnout na výpočet vedlejší poloosy b
Tu můžeme snadno dopočítat ze vztahu pro hlavní poloosu, vedlejší poloosu a excentricitu
$$a^{2}=b^{2}+e^{2}$$
$$b^{2}=a^{2}-e^{2}$$
$$b^{2}=\sqrt{a^{2}-e^{2}}$$
$$b=\sqrt{5^{2}-4^{2}}$$
$$b=3$$
- Nyní již můžeme dosadit do středové rovnice elipsy
$$\frac{(x-m)^2}{{a}^2}+\frac{(y-n)^2}{{b}^2}=1$$
$$\frac{(x-2)^2}{25}+\frac{(y-2)^2}{9}=1$$
