Zadání:

Najděte středovou rovnici elipsy se středem S[2; 2], výstředností e = 4 a hlavním vrcholem A[-3; 2].

Řešení:

Abychom mohli dosadit do středové rovnice elipsy, musíme znát souřadnice středu elipsy S

a délku hlavní a vedlejší poloosy a a b

$$\frac{(x-m)^2}{{a}^2}+\frac{(y-n)^2}{{b}^2}=1$$

• Nejprve si tedy vypočítáme délku hlavní poloosy a

Tu získáme z výpočtu velikosti úsečky SA podle vzorce pro výpočet vzdálenosti dvou bodů (a=|SA|)

Protože známe souřadnice bodu S i bodu A, jednoduše dosadíme do vzorce:

$$|AB| = \sqrt{(b_{1} – a_{1})^{2} + (b_{2} – a_{2})^{2}}$$

Získáme tedy:

$$|SA| = \sqrt{(a_{1} – m)^{2} + (a_{2} – n)^{2}}$$

$$|SA| = \sqrt{(-3-2)^{2} + (2-2)^{2}}=\sqrt25=5$$

$$a=5$$

• Nyní se můžeme vrhnout na výpočet vedlejší poloosy b

Tu můžeme snadno dopočítat ze vztahu pro hlavní poloosu, vedlejší poloosu a excentricitu 

$$a^{2}=b^{2}+e^{2}$$

$$b^{2}=a^{2}-e^{2}$$

$$b^{2}=\sqrt{a^{2}-e^{2}}$$

$$b=\sqrt{5^{2}-4^{2}}$$

$$b=3$$

• Nyní již můžeme dosadit do středové rovnice elipsy

$$\frac{(x-m)^2}{{a}^2}+\frac{(y-n)^2}{{b}^2}=1$$

$$\frac{(x-2)^2}{25}+\frac{(y-2)^2}{9}=1$$