Zadání: Šestiúhelník ABCDEF se skládá ze dvou čtverců AXEF a XBCD, rovnostranného trojúhelníku XDE a tupoúhlého trojúhelníku ABX. Délka strany AF je 6 cm. Vypočítejte délku strany AB.
Řešení:
Pojďme si vypsat co známe:
- Víme, že šestiúhelník ADBCDEF je tvořen dvěma čtverci a dvěma trojúhelníky.
- Strany čtverců AXEF a XBCD měří 6 cm. (Pojmenujme si tuto stranu jako stranu a.)
- Rovnostranný trojúhelník XDE má délku strany rovnou 6 cm a jeho úhly jsou všechny stejně velké, tudíž každý má 60°.
Pokud bychom v tupoúhlém trojúhelníku ABX vypočítali velikost úhlu, který leží u vrcholu X (úhel AXB), mohli bychom s pomocí kosinové věty dopočítat chybějící stranu x (AB).
A protože známe velikosti úhlů AXE,EXD a DXB, můžeme si velikost úhlu AXB (který si označíme písmenem lambda Λ) snadno dopočítat. Složením všech 4 úhlů totiž získáme plný úhel, který se rovná 360°. Stačí tedy vypočítat následující rovnost:
Λ = velikost plného úhlu-velikost úhlu AXE-velikost úhlu EXD – velikost úhlu DXB
Λ = 360°- 90°- 60°- 90°
Λ= 120°
Nyní již známe dvě strany a úhel, který spolu svírají, tudíž můžeme využít kosinovou větu, která zní:
$$c^2 = a^2 + b^2 – 2 a b \cdot \cos \gamma$$
Pokud si vzorec upravíme na náš příklad, dostaneme:
$$x^2 = a^2 + a^2 – 2 a \cdot a \cdot \cos \lambda$$
Nejprve si vyjádříme x a následně do vzorce dosadíme a vypočítáme
$$x =\sqrt{ a^2 + a^2 – 2 a \cdot a \cdot \cos \lambda}$$
$$x =\sqrt{ 2a^2 -2 a^2 \cdot \cos \lambda}$$
$$x =\sqrt{ 2\cdot 6^2 -2\cdot 6^2 \cdot \cos120°}$$
$$x=\sqrt108$$
$$x=\sqrt{2\cdot54}=\sqrt{2\cdot2\cdot27}=\sqrt{2^2\cdot3^3}=6\sqrt3$$
Délka strany AB se rovná 6√3.