Zadání: Šestiúhelník ABCDEF se skládá ze dvou čtverců AXEF a XBCD, rovnostranného trojúhelníku XDE a tupoúhlého trojúhelníku ABX. Délka strany AF je 6 cm. Vypočítejte délku strany AB.

Řešení:

Pojďme si vypsat co známe:

• Víme, že šestiúhelník ADBCDEF je tvořen dvěma čtverci a dvěma trojúhelníky.
• Strany čtverců AXEF a XBCD měří 6 cm. (Pojmenujme si tuto stranu jako stranu a.)
• Rovnostranný trojúhelník XDE má délku strany rovnou 6 cm a jeho úhly jsou všechny stejně velké, tudíž každý má 60°.

Pokud bychom v tupoúhlém trojúhelníku ABX vypočítali velikost úhlu, který leží u vrcholu X (úhel AXB), mohli bychom s pomocí kosinové věty dopočítat chybějící stranu x (AB).

A protože známe velikosti úhlů AXE,EXD a DXB, můžeme si velikost úhlu AXB (který si označíme písmenem lambda Λ) snadno dopočítat. Složením všech 4 úhlů totiž získáme plný úhel, který se rovná 360°. Stačí tedy vypočítat následující rovnost:

Λ = velikost plného úhlu-velikost úhlu AXE-velikost úhlu EXD – velikost úhlu DXB

Λ = 360°- 90°- 60°- 90°

Λ= 120°

Nyní již známe dvě strany a úhel, který spolu svírají, tudíž můžeme využít kosinovou větu, která zní:

$$c^2 = a^2 + b^2 – 2 a b \cdot \cos \gamma$$

Pokud si vzorec upravíme na náš příklad, dostaneme:

$$x^2 = a^2 + a^2 – 2 a \cdot a \cdot \cos \lambda$$

Nejprve si vyjádříme x a následně do vzorce dosadíme a vypočítáme

$$x =\sqrt{ a^2 + a^2 – 2 a \cdot a \cdot \cos \lambda}$$

$$x =\sqrt{ 2a^2 -2 a^2 \cdot \cos \lambda}$$

$$x =\sqrt{ 2\cdot 6^2 -2\cdot 6^2 \cdot \cos120°}$$

$$x=\sqrt108$$

$$x=\sqrt{2\cdot54}=\sqrt{2\cdot2\cdot27}=\sqrt{2^2\cdot3^3}=6\sqrt3$$

Délka strany AB se rovná 6√3.