KOMBINACE S OPAKOVÁNÍM využijeme v případě, že si vybíráme prvky a nevadí nám, že se některé z nich budou opakovat.

• Základní vzorec pro výpočet Kombinací s opakováním vypadá takto:

$$K´(k,n)=\binom{n+k-1}{k}=\binom{n+k-1}{n-1}=\frac{(n+k-1)!}{k!(n-1)!}$$

• Příklady, kdy můžeme vzorec pro Kombinace s opakováním využít, jsou například:

1. Vybíráme si z velkého počtu barevných kuliček třeba 3, 4, 5 či více a víme, že v sáčku, ze kterého si kuličky vybíráme se nachází pouze kuličky bílé, červené a modré. Je nám jedno v jakém pořadí si kuličky vytáhneme a nerozlišujeme mezi sebou kuličky jedné barvy.
2. Vybíráme si karty z balíčku a nezáleží nám na jejich pořadí, ale pouze na jejich barvě či typu karty.
3. Nakupujeme 6 jogurtů a máme na výběr ze spousty vanilkových, čokoládových a nugátových jogurtů.

• Jak je z příkladů patrné, Kombinace s opakováním využíváme vždy, kdy máme na výběr z nepřeberného množství jogurtů, kuliček, karet či jiných věcí. Přičemž nám nezáleží na pořadí, v jakém si dané věci vybereme, ale na počtu způsobů, kterými si dané věci můžeme vybrat.

Vzorový příklad:

Určete počet kvádrů, jejichž velikosti hran jsou přirozená čísla nejvýše rovná deseti. Kolik je v tomto počtu krychlí?

Řešení:

Nejprve si musíme uvědomit co vlastně vybíráme a z kolika možností.

• Přirozená čísla jsou čísla od 1 do 10, celkem tedy hrany můžeme vybrat z 10 možností ⇒ n=10
• Kvádr je tvořen z hran a, b a c ⇒ vybíráme vždy 3 čísla ⇒ k=3
• Nyní již můžeme dosadit do vzorce a vypočítat:

$$K´(k,n)=\binom{n+k-1}{k}=\binom{n+k-1}{n-1}=\frac{(n+k-1)!}{k!(n-1)!}$$

$$K´(k,n)=\binom{10+3-1}{3}=\binom{10+3-1}{10-1}=\binom{12}{3}=\frac{(10+3-1)!}{3!(n-1)!}=\frac{12!}{3!9!}=220$$